1. Responda:
Seja f(x)=a x^{2}+b x+c. Sabendo que f(1)=4, f(2)=0 e f(3)=-2, determine o produto abc.

Passo 1

O enunciado dá uma função polinomial quadrática f(x)=a x^{2}+b x+c e fornece três valores de f:
f(1)=4,\qquad f(2)=0,\qquad f(3)=-2.
A pergunta é: determinar o produto a b c.
Informações relevantes listadas: os três valores acima equivalem a três equações lineares em a,b,c. Não precisamos de nada mais além dessas três equações para determinar a,b,c e, em seguida, calcular a b c.

Passo 2

Vamos escrever as três equações que vêm diretamente de substituir x=1,2,3 em f(x)=a x^{2}+b x+c.
a(1)^2+b(1)+c=4 \quad\Rightarrow\quad a+b+c=4,
a(2)^2+b(2)+c=0 \quad\Rightarrow\quad 4a+2b+c=0,
a(3)^2+b(3)+c=-2 \quad\Rightarrow\quad 9a+3b+c=-2.
Agora temos o sistema linear
\begin{cases} a+b+c=4,\\[4pt] 4a+2b+c=0,\\[4pt] 9a+3b+c=-2. \end{cases}]

Passo 3

Estratégia de resolução (método da eliminação): como c aparece nas três equações com coeficiente 1, ao subtrair uma equação da outra o termo c some — isso simplifica para um sistema em a e b. Vou subtrair a primeira equação da segunda e a segunda da terceira para eliminar c.
Subtraindo a primeira da segunda:
(4a+2b+c)-(a+b+c)=0-4 \quad\Rightarrow\quad 3a+b=-4.
Subtraindo a segunda da terceira:
(9a+3b+c)-(4a+2b+c)=-2-0 \quad\Rightarrow\quad 5a+b=-2.
Agora temos duas equações lineares em a e b:
\begin{cases} 3a+b=-4,\\[4pt] 5a+b=-2. \end{cases}]

Passo 4

Subtraio a primeira destas da segunda para eliminar b:
(5a+b)-(3a+b)=-2-(-4) \quad\Rightarrow\quad 2a=2.
Logo,
a=1.

Passo 5

Com a=1, volto a uma das equações em a,b para achar b. Usando 3a+b=-4:
3\cdot 1 + b = -4 \quad\Rightarrow\quad 3+b=-4 \quad\Rightarrow\quad b=-7.

Passo 6

Agora que temos a e b, uso a primeira equação do sistema para obter c: a+b+c=4.
1 + (-7) + c = 4 \quad\Rightarrow\quad -6 + c = 4 \quad\Rightarrow\quad c = 10.

Passo 7

Calculamos o produto pedido:
a b c = 1 \cdot (-7) \cdot 10 = -70.
Como checagem rápida, podemos ver que com a=1,b=-7,c=10 os valores são
f(1)=1-7+10=4,\quad f(2)=4-14+10=0,\quad f(3)=9-21+10=-2,
que batem com o enunciado — ótimo sinal de que não cometemos erro.

Resposta

-70

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