Determine zx e zy.
z=integralx^y cos (t^2) d t;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar $ z_{x} $ e $ z_{y} $, onde $ z $ é definido pela integral:
zx
Aqui, estamos lidando com cálculo integral e derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar entender como derivar uma função definida por uma integral com limites que também são variáveis, usando a regra de Leibniz.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa $ z_{x} $ e $ z_{y} $. Essas notações representam as derivadas parciais de $ z $ em relação a $ x $ e $ y $, respectivamente. Ou seja, queremos saber como $ z $ muda quando apenas $ x $ ou apenas $ y $ muda.

Passo 3

Vamos começar calculando $ z_{x} $. Para isso, precisamos derivar a integral com respeito a $ x $. Quando temos uma integral com limite inferior variável, a derivada em relação a esse limite é dada por:
zx
Isso ocorre porque, ao aumentar $ x $, estamos diminuindo a área sob a curva da integral.

Passo 4

Aplicando essa regra ao nosso caso, onde $ f(t) = \cos(t^{2}) $, temos:
f(t) = cos(t^2)

Passo 5

Agora, vamos calcular $ z_{y} $. Aqui, o limite superior da integral é variável, e a derivada em relação a esse limite é dada por:
zy
Isso significa que, ao aumentar $ y $, estamos adicionando mais área sob a curva da função integrada.

Passo 6

Aplicando essa regra ao nosso caso, novamente com $ f(t) = \cos(t^{2}) $, temos:
f(t) = cos(t^2)

Resposta

Assim, as derivadas parciais são:
zx = -cos(x^2)
zy = cos(y^2)

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