Determine
e
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar $ z_{x} $ e $ z_{y} $, onde $ z $ é definido pela integral:
Aqui, estamos lidando com cálculo integral e derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar entender como derivar uma função definida por uma integral com limites que também são variáveis, usando a regra de Leibniz.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa $ z_{x} $ e $ z_{y} $. Essas notações representam as derivadas parciais de $ z $ em relação a $ x $ e $ y $, respectivamente. Ou seja, queremos saber como $ z $ muda quando apenas $ x $ ou apenas $ y $ muda.
Passo 3
Vamos começar calculando $ z_{x} $. Para isso, precisamos derivar a integral com respeito a $ x $. Quando temos uma integral com limite inferior variável, a derivada em relação a esse limite é dada por:
Isso ocorre porque, ao aumentar $ x $, estamos diminuindo a área sob a curva da integral.
Passo 4
Aplicando essa regra ao nosso caso, onde $ f(t) = \cos(t^{2}) $, temos:
Passo 5
Agora, vamos calcular $ z_{y} $. Aqui, o limite superior da integral é variável, e a derivada em relação a esse limite é dada por:
Isso significa que, ao aumentar $ y $, estamos adicionando mais área sob a curva da função integrada.
Passo 6
Aplicando essa regra ao nosso caso, novamente com $ f(t) = \cos(t^{2}) $, temos:
Resposta
Assim, as derivadas parciais são: