Determinou-se, através de experiências, que o campo elétrico situado numa certa região da atmosfera terrestre está dirigido verticalmente para baixo. Numa altitude de 300 m , o campo vale 60 \mathrm{~N} / \mathrm{C} e, numa altitude de 200 m , ele vale 100 N / C. Determine a carga total resultante contida num cubo de 100 m de aresta e localizado numa altitude entre 200 m e 300 m . Despreze a curvatura da Terra.

Passo 1

O enunciado diz que o campo elétrico é vertical para baixo e vale \,E=60\\ \mathrm{N/C} a 300\\ \mathrm{m} e \,E=100\\ \mathrm{N/C} a 200\\ \mathrm{m}. Precisamos achar a carga total dentro de um cubo de aresta 100\\ \mathrm{m} entre essas altitudes. Vamos usar a Lei de Gauss:
\oint_{\partial V}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} \;=\;\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_{0}}.

Passo 2

Escolhemos como superfície gaussiana justamente o cubo de aresta L=100\\ \mathrm{m}. O campo é vertical, então só as faces superior (em 300\\ \mathrm{m}) e inferior (em 200\\ \mathrm{m}) contribuem para o fluxo. Cada face horizontal tem área
A = L^2 = (100\\ \mathrm{m})^2 = 10^4\\ \mathrm{m}^2.

Passo 3

Na face superior o vetor normal \mathbf{n} aponta para cima, mas \mathbf{E} aponta para baixo; daí
\Phi_{\text{sup}} = \mathbf{E}_{300}\cdot A\,\cos(180^\circ) = -E_{300}\,A = -\bigl(60\\ \mathrm{N/C}\bigr)\,10^4\\ \mathrm{m}^2.
Na face inferior o normal aponta para baixo, em mesma direção de \mathbf{E}, logo
\Phi_{\text{inf}} = \mathbf{E}_{200}\cdot A\,\cos(0^\circ) = E_{200}\,A = \bigl(100\\ \mathrm{N/C}\bigr)\,10^4\\ \mathrm{m}^2.

Passo 4

O fluxo total pelo cubo é
\Phi_{\text{tot}} = \Phi_{\text{inf}} + \Phi_{\text{sup}} = \bigl(E_{200}-E_{300}\bigr)\,A = (100 - 60)\times10^4\\ \mathrm{N\cdot m^2/C} = 4{,}0\times10^5\\ \mathrm{N\cdot m^2/C}.
Pela Lei de Gauss vem
Q_{\text{int}} = \varepsilon_{0}\,\Phi_{\text{tot}} = (8{,}854\times10^{-12})\times(4{,}0\times10^5)\\ \mathrm{C}.

Passo 5

Calculando numericamente:
Q_{\text{int}} = 8{,}854\times10^{-12}\times4{,}0\times10^5 = 3{,}54\times10^{-6}\\ \mathrm{C}.

Resposta

A carga total resultante no cubo é aproximadamente
Q = 3{,}54\times10^{-6}\\ \mathrm{C}.

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