Deternmine os divisores positivos de:
756

Passo 1

O enunciado pede para determinar todos os divisores positivos de 756. O conteúdo que vamos usar é fatoração prima e a ideia de que, se
n = p_{1}^{\alpha_{1}} \cdot p_{2}^{\alpha_{2}} \cdots p_{k}^{\alpha_{k}},
então todo divisor de n é da forma
p_{1}^{a_{1}} \cdot p_{2}^{a_{2}} \cdots p_{k}^{a_{k}}
com 0 \le a_{i} \le \alpha_{i}.

Passo 2

Começamos fatorando 756 em primos. Dividindo sucessivamente por primos pequenos:
756 \div 2 = 378,\quad 378 \div 2 = 189,
189 \div 3 = 63,\quad 63 \div 3 = 21,\quad 21 \div 3 = 7,\quad 7 \div 7 = 1.
Logo,
756 = 2^{2} \cdot 3^{3} \cdot 7^{1}.

Passo 3

Pela fatoração, um divisor qualquer de 756 tem a forma
2^{a}\,3^{b}\,7^{c},
onde a\in\{0,1,2\}, b\in\{0,1,2,3\} e c\in\{0,1\}. O número total de divisores é (2+1)\times(3+1)\times(1+1)=24.

Passo 4

Para listar todos, variamos (a,b,c) nos valores permitidos e calculamos 2^{a}3^{b}7^{c}. Agrupando e ordenando, obtemos a sequência dos 24 divisores.

Resposta

Os divisores positivos de 756 são:
1,2,3,4,6,7,9,12,14,18,21,27,28,36,42,54,63,84,108,126,189,252,378,756.

Exercícios relacionados