Um detetive encontra a vítima de um assassinato às 9 horas da manhã. Ao analisar o corpo, percebe que a temperatura é de 90,3^circ F. Uma hora mais tarde a temperatura do corpo é de 89^circ F. Sabendo que a temperatura do quarto foi mantida constante e é de 68^circ F. Obtenha a função que descreve a temperatura do corpo em cada tempo t. Sabendo que a temperatura de uma pessoa é 98^circ F determine o momento em que o crime ocorreu.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um caso de detetive em que a temperatura do corpo foi medida em dois momentos diferentes. A gente vai usar o Conteúdo de Resfriamento de Newton para descobrir a função que descreve como a temperatura do corpo muda com o tempo. Para isso, vamos precisar entender a lei de resfriamento e aplicar algumas fórmulas matemáticas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Lei de Resfriamento de Newton, que diz que a taxa de mudança da temperatura de um objeto é proporcional à diferença entre a temperatura do objeto e a temperatura ambiente. A fórmula geral é:
T(t) = Tamb + (T0 - Tamb) cdot e^-kt
Onde:
  • $ T(t) $ é a temperatura do objeto no tempo $ t $.
  • $ T_{amb} $ é a temperatura ambiente.
  • $ T_0 $ é a temperatura inicial do objeto.
  • $ k $ é a constante de resfriamento.
  • $ e $ é a base do logaritmo natural.
No nosso caso, sabemos que $ T_{amb} = 68^{\circ}F $ e a temperatura inicial $ T_0 = 90,3^{\circ}F $ às 9 horas da manhã.

Passo 3

Vamos usar a segunda medida para encontrar $ k $. Uma hora depois (às 10 horas), a temperatura é $ 89^{\circ}F $. Substituindo esses valores na fórmula:
k
Primeiro, calculamos $ 90,3 - 68 = 22,3 $:
89^circF
Agora, subtraímos 68 de ambos os lados:
89 = 68 + (90,3 - 68) cdot e^-k cdot 1
Dividindo ambos os lados por 22,3:
90,3 - 68 = 22,3
Calculando $ \frac{21}{22,3} \approx 0,9435 $:
89 = 68 + 22,3 cdot e^-k
Para encontrar $ k $, tiramos o logaritmo natural de ambos os lados:
21 = 22,3 cdot e^-k
Então:
2122,3 = e^-k

Passo 4

Agora que temos $ k $, podemos escrever a função que descreve a temperatura do corpo ao longo do tempo:
k

Passo 5

Queremos saber quando a temperatura do corpo era $ 98^{\circ}F $. Então, vamos igualar a função a 98 e resolver para $ t $:
98^circF
Subtraindo 68 de ambos os lados:
t
Dividindo por 22,3:
98 = 68 + 22,3 cdot e^-0,058t
Aqui percebemos algo estranho: $ e^{-0,058t} $ sempre é menor que 1 para $ t > 0 $, mas $ 1,345 > 1 $. Isso significa que, na verdade, a temperatura de $ 98^{\circ}F $ nunca ocorreria após o início das medições, indicando que o crime aconteceu antes das 9 horas da manhã.
Vamos então considerar que a vítima tinha $ 98^{\circ}F $ no momento do assassinato e começou a esfriar a partir das 9 horas.

Passo 6

Vamos reescrever a função considerando que no tempo $ t = t_0 $ (momento do crime), $ T(t_0) = 98 $. Queremos encontrar $ t_0 $ tal que $ T(t_0 + t_m) = 68 $, onde $ t_m $ é o tempo desde o momento do crime até as medições.
Entretanto, com as informações dadas, concluímos que o tempo do crime aconteceu antes das 9 horas, mas sem informações adicionais sobre o período total de resfriamento, não podemos determinar exatamente o momento do crime.

Resposta

Com base nos cálculos, o crime ocorreu antes das 9 horas da manhã.

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