In Problems 1 and 2 solve the heat equation (1) subject to the given conditions. Assume a rod of length

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação do calor
partial upartial t = alpha^2 partial^2 upartial x^2
numa barra de comprimento L com contornos fixos
u(0,t)=0, u(L,t)=0
e condição inicial em degrau
u(x,0)= 1,&0<x<tfracL2, 0,&tfracL2<x<L
Vamos usar separação de variáveis e expansão em série de Fourier seno.

Passo 2

Suponha
u(x,t)=X(x),T(t)
Substituindo na equação do calor e separando variáveis obtemos
T'alpha^2 T=X''X=-lambda
As condições de contorno X(0)=X(L)=0 exigem autovalores
lambdan=l(tfracnpiLr)^2,
com autofunções
Xn(x)=sin!l(tfracnpi xLr),
e as partes temporais correspondentes
Tn(t)=e^-alpha^2lambdan,t =e^-alpha^2(npi/L)^2,t

Passo 3

A solução geral que satisfaz os contornos é
u(x,t) =sumn=1^inftyBn sin!l(tfracnpi xLr) e^-alpha^2 (npi/L)^2,t,
onde os coeficientes Bn vêm da expansão de Fourier da condição inicial.

Passo 4

Calculamos
Bn =2Lintegral0^Lu(x,0), sin!l(tfracnpi xLr),dx =2Lintegral0^L/21cdot sin!l(tfracnpi xLr),dx
Fazendo a integral:
integral0^L/2 sin!l(tfracnpi xLr),dx =-Lnpil[cos!l(tfracnpi xLr)r]0^L/2 =Lnpil(1-cos!l(tfracnpi2r)r)
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Bn =2LcdotLnpi l(1-cos!l(tfracnpi2r)r) =2npil[1-cos!l(tfracnpi2r)r]

Passo 5

Substituindo Bn na série obtemos a solução final:
u(x,t) =sumn=1^infty 2l[1-cos(tfracnpi2)r]npi , sin!l(tfracnpi xLr) , e^-alpha^2 (npi/L)^2,t

Resposta

u(x,t) =sumn=1^infty 2l[1-cos(tfracnpi2)r]npi sin!l(tfracnpi xLr) exp!l[-,alpha^2l(tfracnpiLr)^2tr]

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