In Problems 1 and 2 solve the heat equation (1) subject to the given conditions. Assume a rod of length
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação do calor
numa barra de comprimento
com contornos fixos
e condição inicial em degrau
Vamos usar separação de variáveis e expansão em série de Fourier seno.
Passo 2
Suponha
Substituindo na equação do calor e separando variáveis obtemos
As condições de contorno
X(0)=X(L)=0 exigem autovalores
com autofunções
e as partes temporais correspondentes
Passo 3
A solução geral que satisfaz os contornos é
onde os coeficientes
Bn vêm da expansão de Fourier da condição inicial.
Passo 4
Calculamos
Fazendo a integral:
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Passo 5
Substituindo
Bn na série obtemos a solução final: