Um projétil lançado a partir do solo segue a seguinte trajetória:
x(t)=14 t^3+2 t, y(t)=b t-t^2, b>0
com t em segundos e distância em centímetros.
A seguir, use o valor de b obtido no item (a).
Quando (em que instante de tempo) o projétil atinge o solo e a que distância da origem ele pousa?

Passo 1

Vamos entender o que foi pedido: temos a trajetória de um projétil lançado do solo, com as funções de posição $ x(t) = \frac{1}{4} t^{3} + 2 t $ e $ y(t) = b t - t^{2} $, onde $ b > 0 $. Queremos descobrir em que instante de tempo o projétil volta a tocar o solo (isto é, quando $ y(t) = 0 $) e qual a distância horizontal $ x $ neste momento. Para resolver isso, vamos usar conceitos de movimento vertical do projétil e resolver a equação para encontrar $ t $, depois calcular $ x(t) $.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o instante em que o projétil atinge o solo novamente. Isso acontece quando a altura $ y(t) $ é igual a zero. Então, vamos resolver a equação $ y(t) = 0 $:
y(t)

Passo 3

Vamos fatorar a equação:
t (b - t) = 0
Isso nos dá duas soluções:
t = 0 ou t = b
A solução $ t = 0 $ corresponde ao momento do lançamento. A outra solução, $ t = b $, é o instante em que o projétil retorna ao solo.

Passo 4

Agora que sabemos que o projétil atinge o solo de novo no instante $ t = b $, vamos encontrar a distância horizontal nesse momento, substituindo $ t = b $ na função $ x(t) $:
t = b

Resposta

O projétil atinge o solo novamente no instante $ t = b $ segundos e pousa a uma distância de $ \frac{1}{4} b^{3} + 2 b $ centímetros da origem.

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