Detormine as componentes principais de tensão e as cossemos diretores dos eixos principais para os estados plumos a seguir:
\sigma_{x x}=50 \mathrm{MPa}
\sigma_{y y}=-20 \mathrm{MPa}
\sigma_{x y}=40 \mathrm{MPa}

Passo 1

O enunciado dá os componentes de tensão num estado plano: \sigma_{xx}=50 MPa, \sigma_{yy}=-20 MPa e \sigma_{xy}=40 MPa. Queremos achar as tensões principais \sigma_{1} e \sigma_{2} e as direções desses eixos principais, ou seja, os cossenos diretores dos eixos onde o tensor de tensão fica diagonal. O conteúdo aqui é transformação de tensões em 2D, que se resolve via autovalores e autovetores do tensor de tensões.

Passo 2

O tensor de tensões no sistema (x,y) é
\boldsymbol{\sigma} = \begin{pmatrix} \sigma_{xx} & \sigma_{xy} \\[6pt] \sigma_{xy} & \sigma_{yy} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 50 & 40 \\[4pt] 40 & -20 \end{pmatrix}.
As tensões principais são as raízes da equação característica
\det(\boldsymbol{\sigma}-\lambda \mathbf{I}) = 0,
ou seja
\bigl(50-\lambda\bigr)\bigl(-20-\lambda\bigr) - 40^2 = 0.]

Passo 3

Podemos usar a forma conveniente de média e raio:
\sigma_\mathrm{m} = \frac{\sigma_{xx} + \sigma_{yy}}{2} = \frac{50 + (-20)}{2} = 15\quad\text{(MPa)},
R = \sqrt{\bigl(\tfrac{\sigma_{xx}-\sigma_{yy}}{2}\bigr)^2 + \sigma_{xy}^2} = \sqrt{35^2 + 40^2} = \sqrt{2825}\approx 53{,}15\quad\text{(MPa)}.
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\sigma_{1} = \sigma_\mathrm{m} + R = 15 + 53{,}15 = 68{,}15\;\text{MPa},
\sigma_{2} = \sigma_\mathrm{m} - R = 15 - 53{,}15 = -38{,}15\;\text{MPa}.

Passo 4

A orientação dos eixos principais satisfaz
\tan(2\theta_p) = \frac{2\,\sigma_{xy}}{\sigma_{xx}-\sigma_{yy}} = \frac{2\cdot40}{50-(-20)} = \frac{80}{70} = \frac{8}{7}.

Passo 5

Calculando numericamente,
2\theta_p = \arctan\!\bigl(\tfrac{8}{7}\bigr)\approx 48{,}81^\circ \quad\Longrightarrow\quad \theta_p = 24{,}40^\circ.

Passo 6

Os cossenos diretores do eixo associado a \sigma_{1} (ângulo \theta_p medido a partir do eixo x) são
\bigl(\cos\theta_p,\;\sin\theta_p\bigr) \approx (0{,}911,\;0{,}412).
Para o eixo de \sigma_{2}, que é perpendicular, os cossenos diretores são
\bigl(-\sin\theta_p,\;\cos\theta_p\bigr) \approx (-0{,}412,\;0{,}911).

Resposta

As tensões principais são
\sigma_{1}\approx 68{,}15\;\text{MPa}, \qquad \sigma_{2}\approx -38{,}15\;\text{MPa}.
Os cossenos diretores do eixo de \sigma_{1} são (0{,}911,\;0{,}412) e do eixo de \sigma_{2} são (-0{,}412,\;0{,}911).

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