Detormine as componentes principais de tensão e as cossemos diretores dos eixos principais para os estados plumos a seguir:
Passo 1
O enunciado dá os componentes de tensão num estado plano:
MPa,
MPa e
MPa. Queremos achar as tensões principais
e
e as direções desses eixos principais, ou seja, os cossenos diretores dos eixos onde o tensor de tensão fica diagonal. O conteúdo aqui é transformação de tensões em 2D, que se resolve via autovalores e autovetores do tensor de tensões.
Passo 2
O tensor de tensões no sistema
é
As tensões principais são as raízes da equação característica
ou seja
Passo 3
Podemos usar a forma conveniente de média e raio:
Logo
Passo 4
A orientação dos eixos principais satisfaz
Passo 5
Calculando numericamente,
Passo 6
Os cossenos diretores do eixo associado a
(ângulo
medido a partir do eixo
) são
Para o eixo de
, que é perpendicular, os cossenos diretores são
Resposta
As tensões principais são
Os cossenos diretores do eixo de
são
e do eixo de
são
.