Mostrar que uma carga distribuída sobre uma barra é equivalente estaticamente a uma força concentrada aplicada no centroide da área que representa a mesma carga distribuída.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que uma carga distribuída
aplicada ao longo de uma barra de
até
pode ser substituída, em termos de equilíbrio de forças e momentos, por uma única força concentrada. O conteúdo de matéria é Estática: resultante de cargas distribuídas e posição do seu ponto de aplicação (centroide). Para isso vamos precisar usar integração para determinar a força resultante e o momento resultante.
Passo 2
Representamos um elemento de carga infinitesimal como
e definimos a força resultante
como a soma (integração) de todas essas cargas desde
até
:
Passo 3
Para que a força concentrada seja estaticamente equivalente, seu momento em relação a uma origem
deve igualar o momento gerado pela carga distribuída. O momento infinitesimal em
é
e o momento resultante é
Passo 4
Chamamos de
a coordenada no eixo
onde a força concentrada
deve atuar para gerar o mesmo momento
. Assim, impomos
e daí
que é exatamente a abscissa do centroide da área sob a curva
.
Passo 5
Concluímos que, para fins de equilíbrio de forças e momentos, a carga distribuída
sobre a barra é equivalente a uma única força concentrada de intensidade
aplicada em
Resposta
A carga distribuída
é estaticamente equivalente à força concentrada
aplicada no ponto
que coincide com o centroide da “área” sob
.