Mostrar que uma carga distribuída sobre uma barra é equivalente estaticamente a uma força concentrada aplicada no centroide da área que representa a mesma carga distribuída.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que uma carga distribuída q(x) aplicada ao longo de uma barra de x=a até x=b pode ser substituída, em termos de equilíbrio de forças e momentos, por uma única força concentrada. O conteúdo de matéria é Estática: resultante de cargas distribuídas e posição do seu ponto de aplicação (centroide). Para isso vamos precisar usar integração para determinar a força resultante e o momento resultante.

Passo 2

Representamos um elemento de carga infinitesimal como
\mathrm{d}F = q(x)\,\mathrm{d}x
e definimos a força resultante R como a soma (integração) de todas essas cargas desde x=a até x=b:
R = \int_{a}^{b} \mathrm{d}F = \int_{a}^{b} q(x)\,\mathrm{d}x.

Passo 3

Para que a força concentrada seja estaticamente equivalente, seu momento em relação a uma origem O deve igualar o momento gerado pela carga distribuída. O momento infinitesimal em O é
\mathrm{d}M_O = x\,\mathrm{d}F = x\,q(x)\,\mathrm{d}x
e o momento resultante é
M_O = \int_{a}^{b} \mathrm{d}M_O = \int_{a}^{b} x\,q(x)\,\mathrm{d}x.

Passo 4

Chamamos de x_c a coordenada no eixo x onde a força concentrada R deve atuar para gerar o mesmo momento M_O. Assim, impomos
M_O = R \, x_c
e daí
x_c = \frac{M_O}{R} = \frac{\displaystyle\int_{a}^{b} x\,q(x)\,\mathrm{d}x}{\displaystyle\int_{a}^{b} q(x)\,\mathrm{d}x},
que é exatamente a abscissa do centroide da área sob a curva q(x).

Passo 5

Concluímos que, para fins de equilíbrio de forças e momentos, a carga distribuída q(x) sobre a barra é equivalente a uma única força concentrada de intensidade
R = \int_{a}^{b} q(x)\,\mathrm{d}x
aplicada em
x = x_c = \frac{\int_{a}^{b} x\,q(x)\,\mathrm{d}x}{\int_{a}^{b} q(x)\,\mathrm{d}x}.

Resposta

A carga distribuída q(x) é estaticamente equivalente à força concentrada
R = \int_{a}^{b} q(x)\,\mathrm{d}x
aplicada no ponto
x_c = \frac{\int_{a}^{b} x\,q(x)\,\mathrm{d}x}{\int_{a}^{b} q(x)\,\mathrm{d}x},
que coincide com o centroide da “área” sob q(x).

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