2-Localize a coordenada y do centróide do parabolóide de revolução utilizando integração.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a coordenada y do centróide de um paraboloide de revolução usando integração. O conteúdo necessário é a definição de centróide em 3D, ou seja
\bar y = \frac{1}{V} \int_V y \,dV,
e o uso de coordenadas cilíndricas (r,\theta,z) para explorar a simetria do sólido.

Passo 2

Escrevemos a fórmula geral para a coordenada y do centróide:
\bar y = \frac{1}{V} \int_V y \,dV.

Passo 3

Em coordenadas cilíndricas temos
y = r\sin\theta, \quad dV = r\,dr\,d\theta\,dz.
Logo o numerador fica
\int_V y\,dV = \int_{0}^{2\pi}\int_{r=0}^{R}\int_{z=0}^{H(1 - \tfrac{r^2}{R^2})} (r\sin\theta)\,(r\,dz\,dr\,d\theta).

Passo 4

Separe as integrais em r, \theta e z:
\int_{0}^{2\pi}\sin\theta\,d\theta \;\times\; \int_{0}^{R}r^2\,\biggl[\int_{0}^{H(1 - \tfrac{r^2}{R^2})}dz\biggr]dr.
Note que
\int_{0}^{2\pi}\sin\theta\,d\theta = 0.

Passo 5

Como o fator angular é zero, o numerador \int_V y\,dV vale zero. O volume V do paraboloide é finito e não nulo, logo
\bar y = \frac{0}{V} = 0.

Resposta

\bar y = 0

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