Deve-se construir uma caixa aberta com um pedaço retangular de cartolina
, cortando-se um quadrado de lado
em cada canto e dobrando-se os lados. Expresse o volume
da caixa como função de
.
Passo 1
Beleza, o que a gente tem aqui é um exercício de geometria envolvendo volume de sólidos. Estamos trabalhando com uma cartolina retangular de 50 cm por 76 cm. A ideia é cortar quadradinhos de lado $ x $ em cada canto dessa cartolina e, depois, dobrar as laterais para formar uma caixa aberta. Precisamos expressar o volume $ V $ dessa caixa em função de $ x $.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como os cortes influenciam nas dimensões da caixa. Ao cortar quadrados de lado $ x $ em cada canto, estamos basicamente removendo essas áreas para criar as laterais da caixa. Quando dobramos as laterais, a altura da caixa será exatamente $ x $.
Passo 3
Agora, vamos calcular as novas dimensões da base da caixa após os cortes. A cartolina original tem 50 cm de comprimento e 76 cm de largura. Como cortamos $ x $ de cada lado, o comprimento da base da caixa será $ 50 - 2x $ e a largura será $ 76 - 2x $.
Passo 4
Com as dimensões da base e a altura definidas, podemos calcular o volume da caixa. O volume $ V $ de um paralelepípedo é dado pelo produto do comprimento, largura e altura. Então, temos:
Passo 5
Vamos simplificar essa expressão para deixar o volume em função de $ x $. Primeiro, multiplicamos os dois primeiros termos:
Agora, multiplicamos pelo $ x $:
Resposta
A função que expressa o volume da caixa em função de $ x $ é: