Deve-se construir uma caixa aberta com um pedaço retangular de cartolina 50 times 76 cm, cortando-se um quadrado de lado x em cada canto e dobrando-se os lados. Expresse o volume V da caixa como função de x.

Passo 1

Beleza, o que a gente tem aqui é um exercício de geometria envolvendo volume de sólidos. Estamos trabalhando com uma cartolina retangular de 50 cm por 76 cm. A ideia é cortar quadradinhos de lado $ x $ em cada canto dessa cartolina e, depois, dobrar as laterais para formar uma caixa aberta. Precisamos expressar o volume $ V $ dessa caixa em função de $ x $.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como os cortes influenciam nas dimensões da caixa. Ao cortar quadrados de lado $ x $ em cada canto, estamos basicamente removendo essas áreas para criar as laterais da caixa. Quando dobramos as laterais, a altura da caixa será exatamente $ x $.

Passo 3

Agora, vamos calcular as novas dimensões da base da caixa após os cortes. A cartolina original tem 50 cm de comprimento e 76 cm de largura. Como cortamos $ x $ de cada lado, o comprimento da base da caixa será $ 50 - 2x $ e a largura será $ 76 - 2x $.

Passo 4

Com as dimensões da base e a altura definidas, podemos calcular o volume da caixa. O volume $ V $ de um paralelepípedo é dado pelo produto do comprimento, largura e altura. Então, temos:
V

Passo 5

Vamos simplificar essa expressão para deixar o volume em função de $ x $. Primeiro, multiplicamos os dois primeiros termos:
x
Agora, multiplicamos pelo $ x $:
(50 - 2x)(76 - 2x) = 50 times 76 - 50 times 2x - 2x times 76 + (2x)^2 = 3800 - 100x - 152x + 4x^2 = 3800 - 252x + 4x^2

Resposta

A função que expressa o volume da caixa em função de $ x $ é:
x

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