Calcule o comprimento da curva dada.
© gamma(t)=(t, 2 t, t^2), t in[1,2];

Passo 1

O exercício pede para calcular o comprimento da curva gamma(t)=(t,2t,t^2) no intervalo [1,2]. O conteúdo envolvido é o cálculo de comprimento de arco de curvas no espaço, para o qual usamos a fórmula
L=integrala^bl|gamma'(t)r|,dt

Passo 2

Primeiro, vamos obter a derivada vetorial de gamma(t). Derivando componente a componente, temos:
gamma'(t)=l(1,,2,,2tr)

Passo 3

Em seguida, calculamos a norma de gamma'(t). Pela definição de norma em R^3,
|gamma'(t)|=raiz1^2+2^2+(2t)^2= raiz1+4+4t^2=raiz4t^2+5

Passo 4

Assim, o comprimento da curva é dado por
L=integral1^2raiz4t^2+5,dt

Passo 5

Para resolver esse integral, fazemos a substituição u=2t, logo du=2,dt ou dt=du/2. O intervalo t=1to2 vira u=2to4. Então:
L=integralu=2^4raizu^2+5,du2=12integral2^4raizu^2+5,du
Usamos a fórmula padrão
integralraizu^2+a^2,du=12l(uraizu^2+a^2+a^2lnl(u+raizu^2+a^2r)r)+C,
com a^2=5.

Passo 6

Aplicando a fórmula e voltando a t, obtemos
L=14l(2traiz4t^2+5+5lnl(2t+raiz4t^2+5r)r)|1^2
Agora é só avaliar em t=2 e t=1:
em t=2:;2cdot2raiz4cdot2^2+5=4raiz21,5ln(4+raiz21);
em t=1:;2cdot1raiz4cdot1^2+5=6,5ln(2+3)=5ln5
Subtraindo, chega-se a

Passo 7

As contas finais dão
L=4raiz21+5ln(4+raiz21)-6-5ln54

Resposta

L=dfrac4raiz21+5ln(4+raiz21)-6-5ln54

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