Resolva cada problema de valor inicial e determine o intervalo de validade da solução.
(d) y^prime=2 cos x3+2 y, y(0)=-1.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO com condição inicial
y’=\frac{2\cos x}{3+2y},\quad y(0)=-1
que é um caso clássico de equação diferencial separável. Vamos usar separação de variáveis e, depois, achar a constante pela condição inicial.

Passo 2

Separamos as variáveis multiplicando ambos os lados por (3+2y)dx e dividindo por cos x:
(3+2y),dy=2\cos x,dx

Passo 3

Agora integramos cada lado:
integral(3+2y),dy=integral2cos x,dx
No lado esquerdo fazemos a integral termo a termo e, no direito, reconhecemos a primitiva de cos x:

Passo 4

Calculamos as integrais:
integral(3+2y),dy=3y+y^2, integral2cos x,dx=2sin x
Portanto obtemos

Passo 5

Juntando os resultados e incluindo a constante de integração C:
3y+y^2=2sin x+C

Passo 6

Aplicamos a condição inicial y(0)=-1 para achar C:
Quando x=0, y=-1 temos
3(-1)+(-1)^2=2sin0+Cimplies -3+1=0+Cimplies C=-2

Passo 7

Substituímos C na solução implícita e escrevemos a equação quadrática em y:
y^2+3y-2sin x+2=0

Passo 8

Resolvemos essa equação quadrática em y usando a fórmula de Bhaskara:
y=-3pmraiz9-4(1)(2-2sin x)2 =-3pmraiz1+8sin x2
Para escolher o sinal certo, usamos y(0)=-1: em x=0 a raiz vira raiz1=1, e para dar y=-1 precisamos do sinal “+”.

Passo 9

Portanto a solução explícita fica
y(x)=-3+raiz1+8sin x2

Passo 10

Para achar o intervalo de validade, lembramos que a EDO exige denominador 3+2y≠0 e que a raiz esteja bem definida. Temos
– raiz real: 1+8\sin x>0 ⇒ \sin x>−1/8.
– 3+2y≠0 acontece exatamente quando a raiz é zero (y = −3/2), ou seja 1+8\sin x=0 ⇒ \sin x=−1/8.
As duas restrições coincidem em sin x>−1/8. Ao redor de x=0, as soluções de \sin x=−1/8 são x=−\arcsin(1/8) e x=π+\arcsin(1/8).

Passo 11

Logo, o maior intervalo que contém x=0 em que sin x>−1/8 é
.

Resposta

A solução é y(x)=-3+raiz1+8sin x2, válida para

Exercícios relacionados