Resolva cada problema de valor inicial e determine o intervalo de validade da solução.
(d)
.
(d)
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO com condição inicial
y’=\frac{2\cos x}{3+2y},\quad y(0)=-1
que é um caso clássico de equação diferencial separável. Vamos usar separação de variáveis e, depois, achar a constante pela condição inicial.
Passo 2
Separamos as variáveis multiplicando ambos os lados por (3+2y)dx e dividindo por cos x:
(3+2y),dy=2\cos x,dx
Passo 3
Agora integramos cada lado:
No lado esquerdo fazemos a integral termo a termo e, no direito, reconhecemos a primitiva de cos x:
Passo 4
Calculamos as integrais:
Portanto obtemos
Passo 5
Juntando os resultados e incluindo a constante de integração C:
Passo 6
Aplicamos a condição inicial y(0)=-1 para achar C:
Quando x=0, y=-1 temos
Passo 7
Substituímos C na solução implícita e escrevemos a equação quadrática em y:
Passo 8
Resolvemos essa equação quadrática em y usando a fórmula de Bhaskara:
Para escolher o sinal certo, usamos y(0)=-1: em x=0 a raiz vira
, e para dar y=-1 precisamos do sinal “+”.
Passo 9
Portanto a solução explícita fica
Passo 10
Para achar o intervalo de validade, lembramos que a EDO exige denominador 3+2y≠0 e que a raiz esteja bem definida. Temos
– raiz real: 1+8\sin x>0 ⇒ \sin x>−1/8.
– 3+2y≠0 acontece exatamente quando a raiz é zero (y = −3/2), ou seja 1+8\sin x=0 ⇒ \sin x=−1/8.
As duas restrições coincidem em sin x>−1/8. Ao redor de x=0, as soluções de \sin x=−1/8 são x=−\arcsin(1/8) e x=π+\arcsin(1/8).
Passo 11
Logo, o maior intervalo que contém x=0 em que sin x>−1/8 é
Resposta
A solução é
, válida para