X deve \mathrm{R} \ 500,00 com vencimento a 2 meses,\mathrm{R} $1.000,00 com vencimento a 5 meses e1.500,00 com vencimento a 8 meses. Deseja liquidar seus compromissos mediante dois pagamentos iguais, um com vencimento a seis meses e outro a 10 meses. Determinar os pagamentos, se o dinheiro vale6 % a.a. e o fim de 10 meses se toma como data de avaliação. R.: dois pagamentos de R\çã 1.514,85.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes dívidas e condições (todas as quantias em reais e todos os tempos em meses):\n
  • dívida de \mathrm{R}\$\,500,00 com vencimento a \,2 meses;\n
  • dívida de \mathrm{R}\$\,1.000,00 com vencimento a \,5 meses;\n
  • dívida de \mathrm{R}\$\,1.500,00 com vencimento a \,8 meses;\n
    Deseja-se liquidar tudo mediante dois pagamentos iguais, um com vencimento a \,6 meses e outro a \,10 meses. A taxa de juros é \,6\% ao ano. A data de avaliação indicada é o fim de \,10 meses (ou seja, vamos trazer/acomodar todos os valores para o instante de \,10 meses).\n
    O que o problema pede: determinar o valor do pagamento (os dois são iguais).

Passo 2

Decidir a fórmula de capitalização/atualização e explicá‑la.\n
Como o enunciado dá apenas “ \,6\% a.a.” e o resultado de referência apresentado no enunciado final corresponde a juros simples, vamos usar juros simples. Explico a fórmula de juros simples para você não ficar no escuro:\n
  • Em juros simples, o fator de acumulação de um valor recebido em um instante t_1 até um instante t_2 (medidos em meses) é
1 + i\cdot\frac{t_2-t_1}{12},
onde i é a taxa anual em forma decimal (aqui i=0,06), e \dfrac{t_2-t_1}{12} converte meses em anos.\n
Exemplo concreto: se você tem \mathrm{R}\$\,100 hoje e a taxa é 6\% a.a., em 6 meses (meio ano) o montante em juros simples seria 100\big(1+0{,}06\cdot\frac{6}{12}\big)=100(1+0{,}03)=103.\n
Vamos aplicar essa fórmula para acumular cada dívida até t=10 meses (data de avaliação).

Passo 3

Acumular a dívida de \mathrm{R}\$\,500,00 (vencimento a \,2 meses) até \,10 meses.\n
  • Intervalo: 10-2=8 meses.\n
  • Fator de acumulação (juros simples):
1+0{,}06\cdot\frac{8}{12}=1+0{,}06\cdot\frac{2}{3}=1+0{,}04=1{,}04.
  • Valor em 10 meses:
500 \times 1{,}04 = 520.

Passo 4

Acumular a dívida de \mathrm{R}\$\,1.000,00 (vencimento a \,5 meses) até \,10 meses.\n
  • Intervalo: 10-5=5 meses.\n
  • Fator:
1+0{,}06\cdot\frac{5}{12}=1+0{,}06\cdot\frac{5}{12}=1+0{,}025=1{,}025.
  • Valor em 10 meses:
1.000 \times 1{,}025 = 1.025.

Passo 5

Acumular a dívida de \mathrm{R}\$\,1.500,00 (vencimento a \,8 meses) até \,10 meses.\n
  • Intervalo: 10-8=2 meses.\n
  • Fator:
1+0{,}06\cdot\frac{2}{12}=1+0{,}06\cdot\frac{1}{6}=1+0{,}01=1{,}01.
  • Valor em 10 meses:
1.500 \times 1{,}01 = 1.515.

Passo 6

Somar todos os valores acumulados em 10 meses para obter o montante total devido nessa data.\n
520 + 1.025 + 1.515 = 3.060.
Portanto, o total a ser pago na data de avaliação ( 10 meses) é \mathrm{R}\$\,3.060,00.

Passo 7

Expressar o valor, em 10 meses, dos dois pagamentos iguais e resolver para o valor do pagamento.\n
  • Seja X o valor de cada pagamento (em reais).\n
  • O pagamento feito em 10 meses vale X em 10 meses (obviamente).\n
  • O pagamento feito em 6 meses deve ser acumulado 4 meses até 10 meses; com juros simples o fator é
1+0{,}06\cdot\frac{4}{12}=1+0{,}06\cdot\frac{1}{3}=1+0{,}02=1{,}02.
  • Assim, o valor total em 10 meses dos dois pagamentos é
X\cdot 1{,}02 + X = X(1{,}02+1)=X\cdot 2{,}02.
  • Igualando ao montante devido:
X\cdot 2{,}02 = 3.060.
  • Portanto
X = \dfrac{3.060}{2{,}02} = 1.514{,}851485\ldots
Arredondando para centavos (moeda): \mathrm{R}\$\,1.514{,}85.

Passo 8

Resumo final e checagem rápida: cada pagamento é \mathrm{R}\$\,1.514{,}85. Se você pagar esse valor em 6 meses e outro igual em 10 meses, o valor acumulado em 10 meses será
1.514{,}85\times 1{,}02 + 1.514{,}85 \approx 3.060{,}00,
que corresponde exatamente ao total das dívidas trazidas a 10 meses. Boa! Você resolveu certinho — respira fundo, já era a metade da batalha.

Resposta

Dois pagamentos de \mathrm{R}\$\,1.514{,}85.

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