Qual a taxa mensal de juros simples que faz um principal de \mathrm{R} \ 200.000,00 formar um montante de R\ 650.000,00 daqui a 20 meses? R.: 11,25 \%.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede uma coisa única. Dados: P=\mathrm{R}\$\,200{.}000,00 (principal), M=\mathrm{R}\$\,650{.}000,00 (montante) e t=20 meses (tempo). Pedido: determinar a taxa de juros simples mensal i que transforma P em M em t meses.

Passo 2

Conceito e fórmula que usamos (explicadinho): em juros simples o juro total é calculado sobre o principal apenas, e cresce linearmente com o tempo. Se P é o principal, i é a taxa por período (aqui: por mês) e t é o número de períodos, então o juro acumulado é
J = P \cdot i \cdot t.
O montante M (o valor final) é a soma do principal com o juro:
M = P + J.
Substituindo J obtemos a forma prática da fórmula:
M = P\,(1 + i t).
Aqui: P é o capital inicial, i é a taxa por mês (em forma decimal) e t é o número de meses.

Passo 3

Isolando a incógnita i a partir de \displaystyle M = P(1 + i t). Primeiro dividimos ambos os lados por P:
\frac{M}{P} = 1 + i t.
Agora subtraímos 1:
\frac{M}{P} - 1 = i t.
Finalmente dividimos por t para achar i:
i = \frac{\dfrac{M}{P} - 1}{t}.

Passo 4

Agora plugamos os números do enunciado: \;P=200{.}000,\;M=650{.}000,\;t=20. Calculemos primeiro a razão \dfrac{M}{P}:
\frac{M}{P}=\frac{650{.}000}{200{.}000}=\frac{65}{20}=\frac{13}{4}=3,25.

Passo 5

Continuando a conta para i:
i=\frac{3,25-1}{20}=\frac{2,25}{20}=0,1125.
Expliquei cada passo: subtraímos 1 de 3,25 para obter o juro total em múltiplos do principal ( 2,25), e dividimos pelos 20 meses para achar a taxa mensal em decimal.

Passo 6

Converter para percentual (forma que costumam pedir): multiplicamos por 100:
i = 0,1125 = 11,25\%.
Portanto a taxa mensal em juros simples é 11,25\% ao mês.

Passo 7

Verificação rápida (pra ficar tranquilo): recomputando o montante com essa taxa,
M = P\,(1 + i t)=200{.}000\bigl(1 + 0,1125\cdot 20\bigr)=200{.}000(1+2,25)=200{.}000\cdot 3,25=650{.}000,
que bate com o enunciado, logo está correto.

Passo 8

Dica prática para a prova (curta e útil): sempre verifique unidades — se a taxa for mensal, o tempo tem que estar em meses. Se fosse juros compostos, a fórmula seria outra e o resultado mudaria bastante. Respira fundo, aplica a fórmula acima e faz a verificação como fizemos.

Resposta

11,25\%\\ \text{ao mês}ê

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