Qual deve ser a energia cinética de um elétron para que a razão entre o comprimento de onda de de Broglie e o comprimento de onda de Compton seja 1000;

Passo 1

Então, o exercício pede: “Qual deve ser a energia cinética de um elétron para que a razão entre o comprimento de onda de de Broglie e o comprimento de onda de Compton seja 1000?”
Conteúdo: ondas de matéria (de Broglie), comprimento de onda de Compton, momento e energia cinética.
O que vamos precisar:
  • Fórmula de λ₍dB₎ = h/p
  • Fórmula de λ_C = h/(m c)
  • Relação p = √(2 m K) (regime não-relativístico)
  • Dados: h, m, c, razão R = 1000

Passo 2

Primeiro, relembra a teoria:
  1. Comprimento de onda de Broglie: lambdarm dB = hp,
    onde p é o momento linear. Em velocidades bem menores que c, usamos a aproximação clássica
    p = raiz2,m,K,com m massa do elétron e K sua energia cinética.
  2. Comprimento de onda de Compton: lambdaC = hm,c
    Isso surge de tratar colisão fóton-elétron e é constante para cada partícula.

Passo 3

Agora montamos a razão pedida:
R ;=;lambdarm dBlambdaC = hraiz2,m,K hm,c =m,craiz2,m,K,
Como queremos m,craiz2,m,K=1000 Longrightarrow raiz2,m,K=m,c1000,, temos
2,m,K=m^2,c^21000^2 ;Longrightarrow; K=m,c^22,(1000)^2,
Elevando ao quadrado e isolando :

Passo 4

Basta agora usar K=511;keV2times10^6 =511times10^3;eV2times10^6 approx0,2555;eV (energia de repouso do elétron) e :

Resposta

A energia cinética necessária é
Kapprox0,26;eV
(ou, em joules, ).

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