Qual deve ser a separação (em metros) entre duas cargas puntiformes \mathrm{q}_{1}=4 \mu \mathrm{C} e \mathrm{q}_{2}=-8,3 \mu \mathrm{C} para que o módulo da força eletrostática entre elas seja de 6,2 \mathrm{~N} ?

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a separação entre duas cargas puntiformes para que o módulo da força eletrostática entre elas seja um valor dado.
Dados fornecidos:
  • q_{1}=4\\ \mu\mathrm{C}.
  • q_{2}=-8,3\\ \mu\mathrm{C}.
  • módulo da força: F=6,2\\ \mathrm{N}.
O que se pede:
  • Determinar a distância r entre as cargas (em metros) tal que o módulo da força entre elas seja 6,2\\ \mathrm{N}.
Observações imediatas (apenas listagem de fatos do enunciado):
  • As cargas estão em microcoulombs; é preciso converter para coulombs para usar as fórmulas do eletromagnetismo.
  • q_{2} é negativa, então a força será atrativa, mas o enunciado pede o módulo da força, logo usaremos valores absolutos dos produtos das cargas quando necessário.

Passo 2

Apresentar a fórmula que vamos usar (Lei de Coulomb) e explicar cada termo.
A lei de Coulomb, para o módulo da força entre duas cargas puntiformes separadas por distância r, é
F = k\,\frac{|q_{1}q_{2}|}{r^{2}},
onde:
  • F é o módulo da força elétrica (em newtons, \mathrm{N});
  • k é a constante eletrostática no vácuo, cujo valor vale aproximadamente k=8,99\times 10^{9}\\ \mathrm{N\,m^{2}/C^{2}} (muitas vezes aproximada por 9,0\times10^{9}\\ \mathrm{N\,m^{2}/C^{2}} para cálculos à mão);
  • q_{1} e q_{2} são as cargas elétricas em coulombs ( \mathrm{C});
  • r é a distância entre as cargas, em metros ( \mathrm{m});
  • usamos |q_{1}q_{2}| porque a fórmula dá o módulo da força; o sinal das cargas só determina se a força é atrativa ou repulsiva, não o módulo.
Explicação didática curta: a fórmula diz que a força cresce com o produto das cargas e decai com o quadrado da distância. É por isso que pequenas cargas muito próximas podem gerar forças grandes.

Passo 3

Isolar r na fórmula para poder calcular a distância a partir de F, q_{1} e q_{2}.
Começando de
F = k\,\frac{|q_{1}q_{2}|}{r^{2}},
multiplicando ambos os lados por r^{2} e dividindo por F obtemos
r^{2} = k\,\frac{|q_{1}q_{2}|}{F}.
Tomando raiz quadrada em ambos os lados:
r = \sqrt{\,k\,\frac{|q_{1}q_{2}|}{F}\,}.
Aqui já temos a expressão que vamos calcular numericamente. Note que r é positivo por definição (distância).

Passo 4

Converter as cargas para coulombs e calcular passo a passo o numerador dentro da raiz.
Conversão:
q_{1}=4\\ \mu\mathrm{C}=4\times 10^{-6}\\ \mathrm{C}, \qquad q_{2}=-8,3\\ \mu\mathrm{C}=-8{,}3\times10^{-6}\\ \mathrm{C}.
Tomando o valor absoluto do produto:
|q_{1}q_{2}| = \bigl|4\times10^{-6}\cdot(-8{,}3\times10^{-6})\bigr| = 4\cdot 8{,}3\times 10^{-12} = 33{,}2\times 10^{-12}.
Reescrevendo em notação científica padrão:
|q_{1}q_{2}| = 3{,}32\times10^{-11}\\ \mathrm{C^{2}}.
Agora calcular k\,|q_{1}q_{2}|. Usarei o valor preciso k=8{,}99\times10^{9}\\ \mathrm{N\,m^{2}/C^{2}} e, para mostrar uma via rápida à mão, indicarei também a aproximação com 9{,}0\times10^{9}:
Usando k=8{,}99\times10^{9}:
k\,|q_{1}q_{2}| = 8{,}99\times10^{9}\cdot 3{,}32\times10^{-11} = (8{,}99\cdot 3{,}32)\times10^{-2}.
Calcule 8{,}99\cdot 3{,}32:
8{,}99\cdot 3{,}32 \approx 29{,}8468.
Logo
k\,|q_{1}q_{2}| \approx 29{,}8468\times10^{-2} = 0{,}298468\\ \mathrm{N\,m^{2}}.
Dividir pelo valor da força F=6{,}2\\ \mathrm{N}:
\frac{k\,|q_{1}q_{2}|}{F} \approx \frac{0{,}298468}{6{,}2} \approx 0{,}04814\\ \mathrm{m^{2}}.
Finalmente,
r = \sqrt{0{,}04814}\\ \mathrm{m} \approx 0{,}2195\\ \mathrm{m}.
Se preferir fazer as contas à mão com aproximações mais simples: usar k\approx 9{,}0\times10^{9} dá quase o mesmo resultado porque é uma aproximação de apenas 0,1%:
9{,}0\times10^{9}\cdot 3{,}32\times10^{-11}=29{,}88\times10^{-2}=0{,}2988,
\frac{0{,}2988}{6{,}2}=0{,}04819,\qquad r\approx\sqrt{0{,}04819}\approx 0{,}2196\\ \mathrm{m},
mesma resposta dentro do erro de arredondamento.

Passo 5

Arredondamento final e interpretação.
  • O valor calculado é r\approx 0{,}2195\\ \mathrm{m}.
  • Dado que os dados do enunciado têm duas casas significativas (por exemplo 6{,}2 N e 8{,}3\\ \mu\mathrm{C}), é razoável reportar a resposta com duas casas significativas: r\approx 0{,}22\\ \mathrm{m}.
Interpretação física curta: como as cargas têm sinais opostos a força é atrativa, e para que o módulo dessa força seja 6{,}2\\ \mathrm{N} as cargas devem ficar a cerca de 0{,}22\\ \mathrm{m} uma da outra.

Resposta

0,22\\ \mathrm{m}

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