Qual deverá ser a espessura (diâmetro) de um fío cilindrico de cobre (pabon =1,710^{-4} \Omega \mathrm{~m} ) de 20 m de comprimento para que ele dissipe uma potência de 2250 W quando for ligado a uma ddp de 50 V ?

Passo 1

O enunciado pede a espessura (diâmetro) de um fio cilíndrico de cobre de comprimento L=20\,\mathrm{m} e resistividade \rho=1,7\times10^{-8}\,\Omega\cdot\mathrm{m}, de modo que, ao ser ligado a uma ddp de V=50\,\mathrm{V}, ele dissipe P=2250\,\mathrm{W}. Vamos usar as fórmulas de potência elétrica e de resistência de um condutor cilíndrico.

Passo 2

Para um resistor com ddp V e potência dissipada P, vale
P = \frac{V^2}{R}
logo a resistência necessária é
R = \frac{V^2}{P} = \frac{50^2}{2250} = \frac{2500}{2250}\,\Omega \approx 1{,}111\;\Omega.

Passo 3

A resistência de um fio cilíndrico de comprimento L e área da secção transversal A é
R = \frac{\rho\,L}{A}.
Isolando A, temos
A = \frac{\rho\,L}{R} = \frac{1{,}7\times10^{-8}\times20}{1{,}111} \;\mathrm{m^2} \approx 3{,}06\times10^{-7}\,\mathrm{m^2}.

Passo 4

Para um fio cilíndrico de diâmetro d, a área é A = \pi (d/2)^2. Assim,
d = 2\sqrt{\frac{A}{\pi}} = 2\sqrt{\frac{3{,}06\times10^{-7}}{\pi}} \;\mathrm{m} \approx 6{,}24\times10^{-4}\,\mathrm{m}.

Resposta

O diâmetro do fio deve ser
d \approx 6{,}24\times10^{-4}\,\mathrm{m} \quad(\approx 0,624\,\mathrm{mm}).

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