Com a devida justificativa, mostre que:
integral1^2 ln (x) d x=2 ln (2)-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral de ln(x) de 1 a 2 e mostrar que o resultado é 2 ln(2) - 1. A matéria que vamos usar aqui é Cálculo Integral, especificamente a técnica de integração por partes. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar essa técnica na função logaritmo natural.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da integração por partes. Ela é baseada na regra do produto para derivadas e é dada por:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, u e dv são escolhas que fazemos a partir da função que queremos integrar. No nosso caso, a função a integrar é ln(x). Para facilitar, vamos escolher:
u = ln(x) e dv = dx

Passo 3

Agora, precisamos encontrar du e v. Para isso, derivamos u e integramos dv:
du = ddx ln(x) , dx = 1x , dx
v = integral dv = integral dx = x

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes, temos:
integral ln(x) , dx = uv - integral v , du = x ln(x) - integral x cdot 1x , dx
Simplificando a integral restante:
integral x cdot 1x , dx = integral 1 , dx = x
Portanto:
integral ln(x) , dx = x ln(x) - x + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 5

Agora, precisamos avaliar a integral definida de 1 a 2 usando a expressão que encontramos:
integral1^2 ln(x) , dx = [ x ln(x) - x ]1^2 = (2 ln(2) - 2) - (1 cdot ln(1) - 1)
Sabemos que ln(1) = 0, então:
= (2 ln(2) - 2) - (0 - 1) = 2 ln(2) - 2 + 1 = 2 ln(2) - 1

Resposta

integral1^2 ln(x) , dx = 2 ln(2) - 1

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