Com a devida justificativa, mostre que:
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral de
de 1 a 2 e mostrar que o resultado é
. A matéria que vamos usar aqui é Cálculo Integral, especificamente a técnica de integração por partes. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar essa técnica na função logaritmo natural.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula da integração por partes. Ela é baseada na regra do produto para derivadas e é dada por:
Aqui,
e
são escolhas que fazemos a partir da função que queremos integrar. No nosso caso, a função a integrar é
. Para facilitar, vamos escolher:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar
e
. Para isso, derivamos
e integramos
:
Passo 4
Aplicando a fórmula da integração por partes, temos:
Simplificando a integral restante:
Portanto:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Agora, precisamos avaliar a integral definida de 1 a 2 usando a expressão que encontramos:
Sabemos que
, então: