Determine a solução geral.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da EDO
Conteúdo: EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos precisar de duas coisas: a solução homogênea e uma solução particular (usando coeficientes a priori).
Passo 2
Primeiro, a parte homogênea satisfaz
A equação característica é
, com raízes
. Logo,
Passo 3
Como o termo-forçante é
e a frequência 3 coincide com a natural do sistema, há ressonância. Então o palpite deve ser
Esse fator
extra evita conflito com a solução homogênea.
Passo 4
Agora calculamos os coeficientes. Derivando e substituindo na equação original, chega-se a
Como isso deve ser igual a
, igualamos coeficientes:
Daí
e
. Então
Passo 5
Juntando as duas partes, a solução geral é
Resposta
x(t)=C_{1}\cos(3t)+C_{2}\sin(3t)-\tfrac{t}{6}\cos(3t)