Determine a solução geral.
ddotx+9 x=sen 3 t

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO
ddotx + 9x = sin(3t)
Conteúdo: EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos precisar de duas coisas: a solução homogênea e uma solução particular (usando coeficientes a priori).

Passo 2

Primeiro, a parte homogênea satisfaz
ddotxh + 9xh = 0
A equação característica é r^2 + 9 = 0, com raízes r = pm 3i. Logo,
xh(t) = C1cos(3t) + C2sin(3t)

Passo 3

Como o termo-forçante é sin(3t) e a frequência 3 coincide com a natural do sistema, há ressonância. Então o palpite deve ser
xp(t) = tl(Acos(3t) + Bsin(3t)r)
Esse fator t extra evita conflito com a solução homogênea.

Passo 4

Agora calculamos os coeficientes. Derivando e substituindo na equação original, chega-se a
xp'' + 9xp = 6Bcos(3t) - 6Asin(3t)
Como isso deve ser igual a sin(3t), igualamos coeficientes:
6B = 0,
-6A = 1
Daí B=0 e A = -tfrac16. Então
xp(t) = -t6cos(3t)

Passo 5

Juntando as duas partes, a solução geral é
x(t) = xh(t) + xp(t) = C1cos(3t) + C2sin(3t) - t6cos(3t)

Resposta

x(t)=C_{1}\cos(3t)+C_{2}\sin(3t)-\tfrac{t}{6}\cos(3t)

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