O conjunto-solução da equação 12 log 10(x+2)+log 100(x-2)=1 é:
(A) S=2 raiz6
(B) S=-2 raiz26
© S=-2 raiz6
(D) S=2 raiz26
(E) S=2 raiz6,-2 raiz6

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que resolver a equação 12 log 10(x+2)+log 100(x-2)=1. Este exercício envolve propriedades dos logaritmos e resolução de equações logarítmicas.

Passo 2

Vamos simplificar a equação. Sabemos que log100(x-2) pode ser reescrito usando a base 10, já que 100 = 10^2. Então:
log100(x-2) = 12 log10(x-2)
Substituindo na equação original:
12 log 10(x+2) + 12 log10(x-2) = 1

Passo 3

Podemos fatorar o 12:
12 ( log10(x+2) + log10(x-2) ) = 1

Passo 4

Usando a propriedade dos logaritmos que diz logb A + logb B = logb (A cdot B), temos:
12 log10 ( (x+2)(x-2) ) = 1

Passo 5

Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar o 12:
log10 ( (x+2)(x-2) ) = 2

Passo 6

Agora, transformamos a equação logarítmica em exponencial. Se log10 M = N, então M = 10^N. Aplicando isso:
(x+2)(x-2) = 10^2
Simplificando:
x^2 - 4 = 100

Passo 7

Resolvendo a equação quadrática:
x^2 = 104 x = pm raiz104 x = pm 2raiz26

Passo 8

Verificamos as soluções no domínio original. As expressões dentro dos logaritmos devem ser positivas:
  1. x + 2 > 0 Rightarrow x > -2
  2. x - 2 > 0 Rightarrow x > 2
Assim, apenas x = 2raiz26 satisfaz ambas as condições.

Resposta

S = 2 raiz26

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