Devido às irreversibilidades na transferência de energia das bombas para o escoamento, a altura de elevação real fornecida pela máquina é menor do que aquela resultante da Equação de Euler. Assim, a determinação da altura de elevação e pressão de descarga é definida com maior precisão quando as variáveis de processo são medidas. As medidas de desempenho de uma bomba centrífuga, operando com água na rotação de 3500 rpm , são mostradas a seguir.
Table 1: Tabela 2 - Parâmetros de teste
\captionsetup{labelformat=empty}
Parâmetro Entrada Saída
Pressão manométrica, \mathrm{P}(\mathrm{kPa}) 100 -
Elevação acima do referencial, \mathrm{z}(\mathrm{m}) 2,0 3,0
Velocidade média do escoamento, \bar{V}(\mathrm{~m} / \mathrm{s}) 1,0 2,0
A vazão bombeada é de 10 m^{3} / h e o torque aplicado ao eixo da bomba é de 5 \mathrm{~N} . \mathrm{m}. Nessas condições, a eficiência da bomba é de 75 \% e a eficiência do motor elétrico é de 85 \%. Calcule a potência elétrica requerida e a pressão na saída da bomba. Considere a massa específica da água 998 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}.
a) 1528 Watts e 253,0 \mathrm{kPa}.
b) 1528 Watts e 583,1 \mathrm{kPa}.
c) 2156 Watts e 253,0 \mathrm{kPa}.
d) 2156 Watts e 583,1 \mathrm{kPa}.

Passo 1

O que o enunciado dá (valores que vou usar; peguei os números da tabela e do texto):
  • Pressão de entrada: P_{\text{in}}=100\\ \mathrm{kPa}.
  • Elevação: z_{\text{in}}=2{,}0\\ \mathrm{m}, z_{\text{out}}=3{,}0\\ \mathrm{m}.
  • Velocidades médias: \bar{V}_{\text{in}}=1{,}0\\ \mathrm{m/s}, \bar{V}_{\text{out}}=2{,}0\\ \mathrm{m/s}.
  • Vazão: Q=10\\ \mathrm{m^{3}/h}.
  • Torque no eixo: T=5{,}0\\ \mathrm{N\cdot m}.
  • Rotação: n=3500\\ \mathrm{rpm}.
  • Eficiência da bomba: \eta_{\text{bomba}}=75\%.
  • Eficiência do motor elétrico: \eta_{\text{motor}}=85\%.
  • Massa específica da água: \rho=998\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
    O que o enunciado pede:
  1. A potência elétrica requerida.
  2. A pressão na saída da bomba.

Passo 2

Converter unidades e calcular quantidades básicas que vou precisar.
  • Converter vazão para \mathrm{m^{3}/s}:
Q=\frac{10}{3600}=\;0{,}002777777\ldots\\ \mathrm{m^{3}/s}.
  • Converter rotação para velocidade angular \omega (rad/s). Fórmula: \omega = 2\pi \dfrac{n}{60}.
\omega = 2\pi\cdot\frac{3500}{60} \approx 366{,}5191429\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 3

Calcular a potência no eixo (potência mecânica entregue ao eixo) a partir do torque. Fórmula: P_{\text{eixo}}=T\cdot\omega. Aqui T é o torque em \mathrm{N\cdot m} e \omega é a velocidade angular em \mathrm{rad/s}. O produto dá potência em Watts.
P_{\text{eixo}} = 5{,}0\cdot 366{,}5191429 \approx 1832{,}5957\\ \mathrm{W}.
Interpretação didática rápida: o torque é a “força rotacional” e \omega é a “velocidade de rotação”; multiplicando obtemos trabalho por unidade de tempo (potência).

Passo 4

Calcular a potência elétrica requerida pelo motor. Relação entre potência elétrica fornecida ao motor P_{\text{el}}, potência no eixo P_{\text{eixo}} e eficiência do motor \eta_{\text{motor}}:
P_{\text{el}}=\frac{P_{\text{eixo}}}{\eta_{\text{motor}}}.
Explicação: a eficiência do motor é a fração da potência elétrica que vira potência mecânica no eixo; logo precisa-se de mais potência elétrica para compensar perdas.
P_{\text{el}}=\frac{1832{,}5957}{0{,}85}\approx 2155{,}9955\\ \mathrm{W}\approx 2156\\ \mathrm{W}.

Passo 5

Calcular a potência hidráulica (entregue ao fluido) usando a eficiência da bomba. Definição: \eta_{\text{bomba}} = \dfrac{P_{\text{hidráulica}}}{P_{\text{eixo}}}á. Logo
P_{\text{hidráulica}}=\eta_{\text{bomba}}\;P_{\text{eixo}}=0{,}75\cdot 1832{,}5957\approx 1374{,}4468\\ \mathrm{W}.á
Interpretação: essa é a potência útil que efetivamente aumenta a energia do fluido (parte dela é dissipada por irreversibilidades internas).

Passo 6

Converter a potência hidráulica em altura de elevação (head) adicionada pela bomba. Relação entre potência hidráulica P_{\text{hidráulica}}á, vazão Q, massa específica \rho, gravidade g e altura h:
P_{\text{hidráulica}}=\rho g Q h \quad\Rightarrow\quad h=\frac{P_{\text{hidráulica}}}{\rho g Q}.áá
Explicando: \rho g Q h é a potência necessária para elevar um fluxo Q através de uma diferença de energia por peso (h). Vamos calcular com g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}.
h=\frac{1374{,}4468}{998\cdot 9{,}81\cdot 0{,}00277777778}\approx 50{,}526\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Usar a equação de energia (Bernoulli com a adição de head da bomba) entre entrada e saída para obter P_{\text{out}}. A forma conveniente:
h=\left(\frac{P_{\text{out}}}{\rho g}+\frac{\bar{V}_{\text{out}}^{2}}{2g}+z_{\text{out}}\right) -\left(\frac{P_{\text{in}}}{\rho g}+\frac{\bar{V}_{\text{in}}^{2}}{2g}+z_{\text{in}}\right).
Reorganizando para P_{\text{out}}:
P_{\text{out}}=P_{\text{in}}+\rho g\,h+\tfrac{1}{2}\rho\left(\bar{V}_{\text{in}}^{2}-\bar{V}_{\text{out}}^{2}\right)+\rho g\left(z_{\text{in}}-z_{\text{out}}\right).
Explicação dos termos:
  • P_{\text{in}} e P_{\text{out}} são pressões estáticas.
  • \tfrac{1}{2}\rho V^{2} são energias cinéticas por volume.
  • \rho g z são energias potenciais por volume.
  • \rho g h é a energia adicionada pela bomba por volume.
Agora calcular termo a termo (usar P_{\text{in}}=100\\ \mathrm{kPa}=100000\\ \mathrm{Pa}):
  • \rho g h = 998\cdot 9{,}81\cdot 50{,}5259856 \approx 494\,668{,}09\\ \mathrm{Pa}.
  • \tfrac{1}{2}\rho\left(\bar{V}_{\text{in}}^{2}-\bar{V}_{\text{out}}^{2}\right) = \tfrac{1}{2}\cdot 998\cdot(1{,}0^{2}-2{,}0^{2}) = -1\,497{,}0\\ \mathrm{Pa}.
  • \rho g (z_{\text{in}}-z_{\text{out}})=998\cdot 9{,}81\cdot(2{,}0-3{,}0) = -9\,790{,}38\\ \mathrm{Pa}.
Somando:
P_{\text{out}}=100000 + 494668{,}09 -1497{,}0 -9790{,}38 \approx 583380{,}7\\ \mathrm{Pa}.
Converter para kilopascals:
P_{\text{out}}\approx 583{,}381\\ \mathrm{kPa}\approx 583{,}4\\ \mathrm{kPa}.

Passo 8

Resumo numérico e verificação rápida:
  • Potência no eixo: P_{\text{eixo}}\approx 1832{,}6\\ \mathrm{W}.
  • Potência elétrica requerida: P_{\text{el}}\approx 2156\\ \mathrm{W}.
  • Potência hidráulica: P_{\text{hidráulica}}\approx 1374{,}45\\ \mathrm{W}á.
  • Altura adicionada pela bomba: h\approx 50{,}526\\ \mathrm{m}.
  • Pressão de descarga: P_{\text{out}}\approx 583{,}4\\ \mathrm{kPa}.
    Tudo consistente (por exemplo P_{\text{hidráulica}}\approx \rho g Q há dentro de arredondamentos).

Resposta

2156\\ \mathrm{W}
583{,}4\\ \mathrm{kPa}

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