Nas turbomáquinas, a transferência de energia ocorre fundamentalmente no rotor. O fluido sofre uma variação da quantidade de movimento angular e reage exercendo um torque sobre o rotor. Esse processo de conversão de energia pode ser idealmente compreendido por meio da Equação de Euler das turbomáquinas. Sobre a teoria de Euler das turbomáquinas, são feitas as seguintes afirmações:
I) A equação de Euler das turbomáquinas, só pode ser aplicada às máquinas que adicionam energia ao fluido, tais como as bombas dinâmicas.
II) O desenvolvimento da Equação de Euler considera a hipótese de que não ocorre nenhuma perda no processo de transferência de energia da bomba para o fluido. Assim, toda potência de eixo recebida pela bomba é transformada em potência hidráulica.
III) O vetor velocidade absoluta do escoamento, na seção de saída do rotor de uma bomba, pode ser obtido pela soma vetorial entre o vetor velocidade relativa e o vetor velocidade tangencial do rotor.
IV) A hipótese do número infinito de pás permite definir a direção e sentido do vetor velocidade relativa em todos os pontos do escoamento.
V) Quanto maior a velocidade tangencial do escoamento na entrada do rotor, maior será a altura de elevação fornecida ao fluido em uma bomba.
É correto o que se afirma em:
a) I, II e III, apenas.
b) II, III e IV, apenas
c) II, III e V, apenas
d) I e V, apenas

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
  • São feitas cinco afirmações sobre a teoria de Euler das turbomáquinas:
    I) A equação de Euler das turbomáquinas só pode ser aplicada às máquinas que adicionam energia ao fluido, tais como as bombas dinâmicas.
    II) O desenvolvimento da Equação de Euler considera a hipótese de que não ocorre nenhuma perda no processo de transferência de energia da bomba para o fluido. Assim, toda potência de eixo recebida pela bomba é transformada em potência hidráulica.
    III) O vetor velocidade absoluta do escoamento, na seção de saída do rotor de uma bomba, pode ser obtido pela soma vetorial entre o vetor velocidade relativa e o vetor velocidade tangencial do rotor.
    IV) A hipótese do número infinito de pás permite definir a direção e sentido do vetor velocidade relativa em todos os pontos do escoamento.
    V) Quanto maior a velocidade tangencial do escoamento na entrada do rotor, maior será a altura de elevação fornecida ao fluido em uma bomba.
  • A pergunta: identificar qual alternativa (a, b, c ou d) corresponde ao conjunto correto de afirmações.

Passo 2

Apresentar a equação de Euler e explicar cada termo (a base teórica que usamos para avaliar as afirmações).
  • A forma clássica da equação de Euler para turbomáquinas, expressa por unidade de massa, é:
w = u_2 c_{u2} - u_1 c_{u1},
onde:
  • w é o trabalho específico (energia por unidade de massa) fornecido ao fluido pela máquina (positiva se a máquina adiciona energia ao fluido, negativa se extrai);
  • u é a velocidade tangencial (periférica) das pás do rotor; u_1 na entrada e u_2 na saída do rotor;
  • c_{u} é a componente tangencial (ou azimutal) da velocidade absoluta do escoamento; c_{u1} na entrada e c_{u2} na saída.
  • A razão física: a equação vem da conservação do momento angular (momento de quantidade de movimento) do fluxo em torno do eixo. A diferença u_2 c_{u2} - u_1 c_{u1} representa a variação do momento angular por unidade de massa que o rotor precisa fornecer/receber.
  • Em termos de potência e altura (para bombas), com vazão mássica \dot m e gravidade g:
P_{\text{hidráulica}} = \dot m\,(u_2 c_{u2} - u_1 c_{u1}) \qquad\text{e}\qquad \Delta h = \frac{u_2 c_{u2} - u_1 c_{u1}}{g}.á

Passo 3

Explicar a relação vetorial entre velocidades (isso serve para avaliar a afirmação III e para entender triângulos de velocidade).
  • A relação vetorial entre as velocidades é:
\mathbf{c} = \mathbf{w} + \mathbf{u},
onde:
  • \mathbf{c} é a velocidade absoluta do fluido;
  • \mathbf{w} é a velocidade relativa do fluido em relação às pás (velocidade vista no referencial do rotor);
  • \mathbf{u} é a velocidade do rotor (velocidade tangencial da pá, vetorial).
  • Essa expressão significa que, no ponto de saída (ou entrada) do rotor, o vetor velocidade absoluta é obtido por soma vetorial do vetor velocidade relativa com o vetor velocidade tangencial do rotor. Em componentes tangenciais:
c_u = w_u + u.
  • Conclusão sobre a afirmação III: ela é correta — a velocidade absoluta é de fato a soma vetorial da relativa com a velocidade tangencial do rotor.

Passo 4

Verificar a afirmação I: aplicação da equação de Euler.
  • A equação de Euler foi derivada a partir da conservação do momento angular e vale em geral para turbomáquinas rotativas, tanto para máquinas que adicionam energia ao fluido (bombas, compressores) quanto para máquinas que extraem energia do fluido (turbinas). O que muda é o sinal do termo w: em bombas w>0 (o rotor fornece energia ao fluido), em turbinas w<0 (o fluido fornece energia ao rotor).
  • Portanto a afirmação I (“só pode ser aplicada às máquinas que adicionam energia ao fluido”) está errada — a equação é universal para máquinas rotativas, independentemente de adicionarem ou extraírem energia.
  • Conclusão: I é falsa.

Passo 5

Verificar a afirmação II: hipótese de desenvolvimento da equação de Euler sobre perdas.
  • A dedução ideal da equação de Euler considera o balanço de momento angular e energia sem incluir termos dissipativos (atrito viscoso, perdas por turbulência, vazamentos, perdas no escoamento secundário). Ou seja, a forma básica de Euler fornece o trabalho teórico ideal (sem perdas) que a máquina pode fornecer ou receber.
  • Em máquinas reais existe sempre perda e eficiência menor que 1; mas a equação ideal dá a potência hidráulica ideal que seria entregue se não houvesse perdas. Em palavras do enunciado: “toda potência de eixo recebida pela bomba é transformada em potência hidráulica” — isso corresponde à hipótese ideal sem perdas.
  • Conclusão: II é verdadeira (é correto que o desenvolvimento considera hipótese ideal sem perdas).

Passo 6

Verificar a afirmação IV: hipótese do número infinito de pás.
  • A hipótese do número infinito de pás (ou pás muito numerosas) é uma simplificação comum: com muitas pás os efeitos de passagem entre pás (pulsação, rajadas, variações espaciais) tornam-se desprezíveis; o escoamento torna-se mais uniforme e pode-se assumir que a direção da velocidade relativa coincide com a direção do canal entre pás em todos os pontos — isto facilita definir a direção do vetor \mathbf{w} (velocidade relativa) de modo contínuo e bem definido.
  • Em outras palavras, esta hipótese permite tratar o escoamento como se a direção do escoamento relativo fosse conhecida em toda a seção (a aproximação de “cascade” com simetria periódica). Por isso a afirmação IV está correta dentro do contexto teórico usual.
  • Conclusão: IV é verdadeira.

Passo 7

Verificar a afirmação V: relação entre velocidade tangencial de entrada e altura de elevação.
  • Use a expressão para altura (ou trabalho específico):
\Delta h = \frac{u_2 c_{u2} - u_1 c_{u1}}{g}.
  • Note o papel do termo de entrada u_1 c_{u1}: ele aparece subtraído. Se c_{u1} (a componente tangencial da velocidade absoluta na entrada) aumentar, então, todos os outros termos fixos, o valor de u_1 c_{u1} aumenta e a diferença u_2 c_{u2} - u_1 c_{u1} diminui — ou seja, a altura teórica fornecida pela bomba diminui. Portanto, ao contrário da afirmação, um aumento da componente tangencial do escoamento na entrada não aumenta a altura; frequentemente reduz.
  • Exemplo numérico simples (para ver com números): suponha u_1=u_2=10\\ \mathrm{m/s} e c_{u2}=20\\ \mathrm{m/s}.
    • Se c_{u1}=0, então w = 10\cdot(20-0)=200\\ \mathrm{J/kg} e \Delta h = 200/9{,}81 \approx 20{,}4\\ \mathrm{m}.
    • Se c_{u1}=5\\ \mathrm{m/s}, então w = 10\cdot(20-5)=150\\ \mathrm{J/kg} e \Delta h = 150/9{,}81 \approx 15{,}3\\ \mathrm{m}.
    • A altura diminuiu quando c_{u1} aumentou.
  • Portanto a afirmação V, tal como escrita, é falsa.

Passo 8

Resumo final das correções das proposições:
  • I: falsa.
  • II: verdadeira.
  • III: verdadeira.
  • IV: verdadeira.
  • V: falsa.
Logo o conjunto correto é II, III e IV.
Também: animo rápido — é normal confundir sinais e componentes em Euler; focando na fórmula u_2 c_{u2} - u_1 c_{u1} a maioria das dúvidas some. Boa revisão e força na prova!

Resposta

b) II, III e IV, apenas.

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