Devido à lenta oxidação das partículas, uma camada de carvão com 1 m de espessura (
) gera energia térmica a uma taxa volumétrica
). A superfície superior da camada está exposta ao ar ambiente a
, com
e recebe irradiação solar a uma taxa
. A superfície possui
.
(a) Aplique um balanço global de energia para estimar a temperatura da superfície,
;
(a) Aplique um balanço global de energia para estimar a temperatura da superfície,
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados que ele fornece.
- Pedido: estimar a temperatura da superfície da camada de carvão,
. - Dados fornecidos:
- Espessura da camada:
. - Condutividade térmica:
(não será necessária explicitamente se assumirmos que todo o calor gerado internamente sai pela superfície superior; isso será explicado no próximo passo). - Geração volumétrica uniforme:
. - Temperatura ambiente (ar):
. - Coeficiente de convecção:
. - Irradiação solar incidente:
. - Emissividade e absortividade da superfície:
.
- Espessura da camada:
- Observações importantes que extraio do enunciado (sem começar a resolver ainda):
- A geração volumétrica fornece energia térmica por unidade de volume dentro da camada.
- A superfície superior recebe a irradiação solar e troca calor com o ambiente por convecção e por radiação.
- O enunciado não diz nada sobre perdas pela face inferior; tomando o “balanço global de energia” usual para este tipo de problema, vou assumir que, em regime estacionário e para fins de estimativa, toda a energia gerada no volume por unidade de área deve ser removida pela superfície superior (por exemplo, porque a face inferior é isolada ou a camada é suficientemente espessa e a única saída efetiva é pela face superior). Vou explicitar essa hipótese no próximo passo.
Passo 2
Hipótese e formulação física do balanço energético global (intuição antes das contas).
- Hipótese: regime estacionário e toda a energia gerada na camada por unidade de área sai pela superfície superior (ou seja, perdas pela face inferior são negligíveis ou a face inferior é isolada).
- Raciocínio físico: por unidade de área, a energia gerada dentro da camada é
(W/m ). A superfície também recebe energia da radiação solar que ela absorve: . Essas energias (geração interna conduzida até a superfície + energia solar absorvida) devem ser equilibradas pelas perdas da superfície para o ambiente por convecção e por radiação térmica de corpo negro (ajustada pela emissividade). - Portanto a equação de balanço energético global na superfície, em regime estacionário, é:
onde
é a constante de Stefan–Boltzmann.
Explicação das parcelas (rápida e didática):
-
: energia gerada no volume por unidade de área, porque tem unidades e multiplica-se por (m) para obter . -
: fração da radiação solar absorvida pela superfície; é adimensional (entre 0 e 1). -
: fluxo convectivo (lei de Newton do resfriamento). em . -
: fluxo radiativo líquido entre superfície e ambiente (Lei de Stefan–Boltzmann linearizada em termos de diferença de quartas potências). .
Passo 3
Colocar valores numéricos nas parcelas conhecidas e organizar a equação para resolver
.
- Calcular a geração por unidade de área:
- Calcular a radiação solar absorvida:
- Soma das entradas de energia:
- Constante de Stefan–Boltzmann com emissividade:
- Converter a temperatura ambiente para Kelvin (porque a lei de Stefan–Boltzmann usa Kelvin):
- Escrever a equação numérica a ser resolvida para
(em Kelvin):
Esta é uma equação não linear em
por causa do termo
. Vou resolvê-la por tentativa/iteração (método direto que dá boa intuição e é simples para fazer sem métodos formais).
Passo 4
Estratégia numérica prática (iteração por tentativa) e primeiras tentativas com interpretação física.
- Intuição inicial: se houvesse apenas convecção,
. Mas a radiação aumenta a perda, portanto a temperatura real será significativamente menor. - Vou avaliar a função
para alguns valores de
e comparar com
.
Cálculos de teste (mostrando convecção e radiação separadamente):
-
Teste em
: - Convecção:
- Para a radiação, primeiro note que
e . Diferença . - Radiação:
- Soma:
(menor que → precisa ser maior).
- Convecção:
-
Teste em
: - Convecção:
-
. Diferença com . - Radiação:
- Soma:
(maior que → precisa ser menor).
- Convecção:
Portanto a solução está entre
e
.
Passo 5
Refinar a busca por iteração (aproximação por interpolação entre tentativas).
-
Teste em
: - Convecção:
-
. Diferença com é . - Radiação:
- Soma:
Isso está muito perto de .
- Convecção:
-
Teste em
: - Convecção:
-
. Diferença . - Radiação:
- Soma:
- Convecção:
Observação: em
obtivemos
e em
obtivemos
. Como queremos
, a solução está bem próxima de
.
- Interpolação linear rápida entre os dois pontos para refinar:
Passo 6
Converter para Celsius e interpretar o resultado.
- Em Celsius:
- Interpretação física curta: dos
que entram (geração interna + radiação solar absorvida), cerca são removidos por convecção e cerca por radiação quando a superfície está em .