Devido à lenta oxidação das partículas, uma camada de carvão com 1 m de espessura (
) gera energia térmica a uma taxa volumétrica
). A superfície superior da camada está exposta ao ar ambiente a
, com
e recebe irradiação solar a uma taxa
. A superfície possui
.
(c) Obtenha a taxa de perda de calor;
(c) Obtenha a taxa de perda de calor;
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda).
- Espessura da camada:
. - Condutividade térmica:
. (não usaremos explicitamente se assumirmos que toda a perda ocorre pela face superior; explico isso adiante.) - Geração volumétrica uniforme:
. - Temperatura do ar ambiente:
. - Coeficiente de convecção na superfície superior:
. - Irradiação solar incidente:
. - Absorvidade da superfície:
(portanto a fração de absorvida é ). - Emissividade da superfície:
. - Constante de Stefan–Boltzmann:
.
O enunciado (parte (c)) pede: “Obtenha a taxa de perda de calor.”
Observações importantes que surgem já aqui: para calcular numericamente a perda por convecção e radiação é preciso conhecer a temperatura da superfície . Essa temperatura só é determinada impondo o balanço de energia na superfície (estado estacionário). Para seguir é necessário assumir como os fluxos gerados no interior são entregues à superfície (por exemplo: se a face inferior for isolada, todo o calor gerado mais a radiação absorvida na face superior tem de sair pela face superior). Vou assumir esse caso clássico (face inferior isolada ou desprezível), explicar por que e como resolver. Se o caso real for diferente, o procedimento muda.
Observações importantes que surgem já aqui: para calcular numericamente a perda por convecção e radiação é preciso conhecer a temperatura da superfície
Passo 2
Converter a geração volumétrica em geração por unidade de área (energia a ser rejeitada pela superfície superior, por metro quadrado).
- A geração volumétrica é
por metro cúbico. Integrando ao longo da espessura obtemos a geração por área:
- Substituindo os valores:
Explicação didática rápida:
tem unidade
; multiplicando por um comprimento em metros dá
, que é a taxa por unidade de área (como a energia gerada por “coluna” de 1 m^2 de base e altura
).
Passo 3
Energia que chega na superfície por radiação solar e que precisa ser rejeitada.
- A fração da radiação solar absorvida pela superfície é
. Com e :
Portanto, se toda a geração interna tiver de sair pela face superior (assunção feita), a potência total que deve ser rejeitada pela face superior, por unidade de área, é a soma da geração por área mais a radiação solar absorvida:
Comentário didático: isto significa que, em regime estacionário e sob a hipótese de que não há outra via significativa de perda (por exemplo perda pela face inferior), a face superior deve rejeitar
ao ambiente por convecção e radiação líquida.
Passo 4
Montar o balanço de energia na superfície e escrever a equação para a temperatura da superfície
.
- No equilíbrio estacionário, potência rejeitada pela convecção mais potência rejeitada pela radiação líquida deve igualar a potência que entra na superfície:
Cada termo explicado:
-
é o fluxo convectivo (W/m^2). em , em K. -
é o fluxo de radiação líquida (W/m^2) entre a superfície e o ambiente tratado como corpo negro a . -
já calculado é . -
Substituindo números:
Este é um equação não linear para
. A maneira prática de resolver é por iteração numérica (tentativas), ou pelo método de Newton se quiser. Vou resolver por aproximações simples (palpites e refinamentos), mostrando os cálculos necessários para que você consiga reproduzir na prova sem calculadora avançada — o truque é usar um palpite linearizado e então ajustar.
Passo 5
Estimativa inicial usando linearização da radiação (coeficiente radiativo efetivo).
- Podemos linearizar o termo radiativo definindo um coeficiente radiativo aproximado
de modo que a radiação líquida ≈
. Para
na faixa próxima de
–
este
será da ordem de
–
.
- Estimando
em torno de :
- Então o coeficiente convective+radiativo aproximado é
. Assim, uma estimativa inicial para é
ou seja
. Isso é apenas um palpite inicial.
Passo 6
Refinamento por tentativas: calcular conv e rad para um palpite e ajustar até que a soma seja
.
Vou mostrar duas tentativas relevantes (essas contas podem ser feitas com calculadora; aqui apresento os passos para você entender o que calcular):
-
Tentativa 1:
(palpite próximo ao anterior). - Convecção:
- Radiação líquida: calcular
. É prático calcular e e usar produto para obter . Fazendo as contas chega-se a aproximadamente - Soma:
Isso é ligeiramente menor que , então deve ser um pouco maior.
- Convecção:
-
Tentativa 2:
. - Convecção:
- Radiação líquida: com as mesmas técnicas de cálculo dá aproximadamente
- Soma:
Agora é um pouco maior que .
- Convecção:
Interpolando entre essas tentativas (linear entre 332{,}0 e 332{,}5 K) para atingir exatamente
dá uma solução próxima de
Comentário: o procedimento prático na prova pode ser: (i) estimar
e
para um palpite; (ii) calcular os fluxos conv e rad com o palpite; (iii) ajustar
por iteração rápida até que a soma seja
. A técnica de linearizar a radiação é útil para obter o palpite inicial.
Passo 7
Calcular as contribuições finais (com
) e apresentar a taxa de perda de calor.
- Convecção:
- Radiação líquida:
- Soma:
Interpretação: esse
é exatamente a soma da geração interna por área (
) mais a energia solar absorvida (
), como esperado devido ao balanço de energia no estado estacionário.
Resposta
Convecção:
Radiação líquida:
Taxa total de perda de calor (superfície superior, por unidade de área):
Radiação líquida:
Taxa total de perda de calor (superfície superior, por unidade de área):