Dez alunos foram submetidos a um teste de matemática e um de estatística, obtendo as seguintes notas:
Alunos | A | B | C | D | E | F | G | H | I | J |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Matemática | 6 | 5 | 9 | 10 | 3 | 4 | 8 | 7 | 6 | 2 |
Estatística | 7 | 6 | 10 | 9 | 2 | 3 | 9 | 5 | 6 | 3 |
Determine o coeficiente de correlação entre as notas das duas matérias.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem as notas de Matemática e Estatística de 10 alunos e precisa encontrar o coeficiente de correlação entre essas duas matérias. Isso vai mostrar como as notas em Matemática estão relacionadas com as notas em Estatística. Para isso, vamos precisar calcular algumas somas e usar a fórmula do coeficiente de correlação de Pearson.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar os dados. Aqui estão as notas de Matemática e Estatística:
Aluno | Matemática (X) | Estatística (Y) |
---|---|---|
A | 6 | 7 |
B | 5 | 6 |
C | 9 | 10 |
D | 10 | 9 |
E | 3 | 2 |
F | 4 | 3 |
G | 8 | 9 |
H | 7 | 5 |
I | 6 | 6 |
J | 2 | 3 |
Passo 3
Vamos calcular algumas somas necessárias:
- Soma das X (Matemática): $ \sum X $
- Soma das Y (Estatística): $ \sum Y $
- Soma de X²: $ \sum X^2 $
- Soma de Y²: $ \sum Y^2 $
- Soma de XY: $ \sum XY $
Vamos calcular cada uma delas:
Passo 4
Agora, vamos usar a fórmula do coeficiente de correlação de Pearson ($ r $):
Onde:
- $ n $ é o número de pares de dados (neste caso, 10).
Vamos substituir os valores que calculamos:
Passo 5
Vamos calcular o numerador e o denominador separadamente.
Numerador:
Denominador:
Primeira parte:
Segunda parte:
Então,
Passo 6
Agora, colocamos tudo de volta na fórmula:
No entanto, o valor do coeficiente de correlação deve estar entre -1 e 1. Parece que houve um erro nos cálculos. Vamos verificar.
Passo 7
Revisando os cálculos:
Confira $ \sum XY $:
Agora, recalculando o denominador:
E o numerador:
Isso ainda está fora do intervalo esperado. Vamos verificar $ \sum Y^2 $:
Tudo certo. Vamos refazer a fórmula:
Ainda está acima de 1. Deve ter algum erro inicial. Vamos revisar a fórmula.
Passo 8
Ops! A fórmula correta do denominador é:
Vamos recalculá-la:
Então,
Agora, o numerador ainda é 590, então:
Isso não é possível, já que o coeficiente de correlação não pode ser maior que 1. Parece que algum valor foi calculado errado no início. Vamos verificar as somas novamente.
Passo 9
Revisando todas as somas:
Parece tudo certo. Talvez a interpretação inicial esteja errada. Vamos calcular a correlação de outra forma para confirmar.
Passo 10
Vamos usar a fórmula alternativa:
Onde $ \bar{X} = \frac{\sum X}{n} = 6 $ e $ \bar{Y} = \frac{\sum Y}{n} = 6 $.
Calculando cada termo:
Somando $ (X - \bar{X})(Y - \bar{Y}) $:
Somando $ (X - \bar{X})^2 $:
Somando $ (Y - \bar{Y})^2 $:
Então,
Resposta
O coeficiente de correlação entre as notas de Matemática e Estatística é aproximadamente 0,91, indicando uma forte relação positiva entre as duas matérias.