Para avaliar diversas características físicas e comportamentais de ursos polares amostras de 15 ursos machos e 10 fêmeas foram obtidas. Alguns pesquisadores acreditam que os machos são mais pesados que as fêmeas. Os pesos médios obtidas das amostras foram 214 kg (desvio=12) e 145 (desvio=10) para machos e fêmeas, respectivamente. Teste a hipótese ao nível de 10 % de significância.

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício fala sobre comparar o peso médio de ursos polares machos e fêmeas para ver se os machos são realmente mais pesados. Estamos lidando com estatística, mais especificamente com um teste de hipótese para comparar duas médias. Para resolver isso, vamos precisar usar o teste t de Student para duas amostras independentes.

Passo 2

Primeiro, temos que definir nossas hipóteses:
  • Hipótese nula (H₀): A média de peso dos machos é igual à média das fêmeas.
    H₀: mumachos = mufêmeas ê
  • Hipótese alternativa (H₁): A média de peso dos machos é maior que a das fêmeas.
    H₁: mumachos > mufêmeas ê
Estamos testando se os machos são mais pesados, então é um teste unilateral.

Passo 3

Agora, vamos calcular o teste t. A fórmula é:
t = barX1 - barX2raizs1^2n1 + s2^2n2
Onde:
  • barX1 = 214 kg (média dos machos)
  • barX2 = 145 kg (média das fêmeas)
  • s1 = 12 kg (desvio padrão dos machos)
  • s2 = 10 kg (desvio padrão das fêmeas)
  • n1 = 15 (tamanho da amostra dos machos)
  • n2 = 10 (tamanho da amostra das fêmeas)
Vamos substituir os valores:
t = 214 - 145raiz12^215 + 10^210 = 69raiz14415 + 10010 = 69raiz9.6 + 10 = 69raiz19.6 approx 694.427 approx 15.6

Passo 4

Vamos agora determinar o valor crítico para o nível de significância de 10% (0,10) em um teste unilateral. Precisamos encontrar o valor de t que corresponde a 90% na tabela t de Student com graus de liberdade aproximados. Os graus de liberdade (df) são calculados por:
df = ( s1^2n1 + s2^2n2 )^2( s1^2n1 )^2n1 - 1 + ( s2^2n2 )^2n2 - 1
Calculando:
df = (9.6 + 10)^29.6^214 + 10^29 = 19.6^292.1614 + 1009 approx 384.166.58 + 11.11 approx 384.1617.69 approx 21.7
Arredondamos para 22 graus de liberdade. Consultando a tabela t, o valor crítico para df=22 e nível de 10% (teste unilateral) é aproximadamente 1.321.

Passo 5

Comparamos nosso valor calculado de t ≈ 15.6 com o valor crítico 1.321.
Como 15.6 > 1.321, rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

Com um valor de t calculado de aproximadamente 15.6 sendo maior que o valor crítico de 1.321, rejeitamos a hipótese nula. Portanto, há evidências suficientes para afirmar, com 10% de significância, que os ursos polares machos são mais pesados que as fêmeas.

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