O diafragma de um alto-falante está vibrando num movimento harmônico simples com frequência de 498 Hz e um deslocamento máximo de 0,21 \mathrm{~mm}. Qual é a velocidade máxima desse diafragma?

Passo 1

Listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dado: frequência f = 498\\ \mathrm{Hz}.
  • Dado: deslocamento máximo (amplitude) A = 0,21\\ \mathrm{mm}.
  • Pedido: a velocidade máxima do diafragma, v_{\max}.
Observação imediata (unidade útil): vou converter a amplitude para metros porque a unidade SI de velocidade é \mathrm{m/s}.
A = 0,21\\ \mathrm{mm} = 0,21\times10^{-3}\\ \mathrm{m} = 2{,}1\times10^{-4}\\ \mathrm{m}.

Passo 2

Explicar a teoria necessária (movimento harmônico simples) de forma bem didática.
  • Em movimento harmônico simples (MHS) a posição em função do tempo pode ser escrita como x(t)=A\cos(\omega t+\varphi), onde:
    • x(t) é o deslocamento instantâneo;
    • A é a amplitude (deslocamento máximo);
    • \omega é a frequência angular, em \mathrm{rad/s};
    • \varphi é a fase inicial (não precisamos do valor para achar v_{\max}).
  • A velocidade é a derivada temporal da posição: v(t)=\frac{dx}{dt}=-A\omega\sin(\omega t+\varphi).
  • A velocidade máxima em módulo ocorre quando |\sin(\omega t+\varphi)|=1. Portanto: v_{\max}=A\omega.
  • A relação entre frequência linear f (em Hz) e frequência angular \omega é: \omega = 2\pi f.
  • Resumo das Fórmulas que vamos usar: \omega = 2\pi f,\qquad v_{\max}=A\omega.

Passo 3

Calcular a frequência angular \omega usando os dados.
\omega = 2\pi f = 2\pi\cdot498.
Calculemos numericamente (aproximação com \pi\approx3{,}14159265):
\omega \approx 2\cdot3{,}14159265\cdot498 \approx 3129{,}03\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 4

Calcular a velocidade máxima v_{\max}=A\omega substituindo A em metros e \omega.
v_{\max} = A\omega = \left(2{,}1\times10^{-4}\right)\cdot3129{,}03.
Fazendo a multiplicação:
v_{\max}\approx 0{,}6571\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Interpretação prática e checagem rápida (pra você se sentir seguro).
  • Em unidades mais intuitivas para alguns problemas: v_{\max}\approx657\\ \mathrm{mm/s}.
  • Checagem de ordem de grandeza: amplitude de 2{,}1\times10^{-4}\\ \mathrm{m} e frequência ~ 5\cdot10^{2}\\ \mathrm{Hz} \omega de ordem 10^{3} e produto ~ 10^{-4}\cdot10^{3}=10^{-1}\\ \mathrm{m/s}, ou seja, algumas décimas de m/s — consistente com o resultado.

Resposta

v_{\max}\approx0,657\\ \mathrm{m/s}

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