Um pequeno bloco é preso a uma mola ideal e move-se em MHS sobre uma superfície horizontal sem atrito. A amplitude do movimento é de 0,21 \mathrm{~m} e o período é de 3,7 \mathrm{~s}. Qual é o módulo da velocidade do bloco quando \mathrm{x}=0,139 \mathrm{~m} ? (Forneça somente o valor numérico \mathrm{em} \mathrm{m} / \mathrm{s}.)

Passo 1

O enunciado pede o módulo da velocidade do bloco em um instante em que sua posição é x=0,139\\ \mathrm{m}. Os dados fornecidos são:
  • Amplitude: A=0,21\\ \mathrm{m}.
  • Período: T=3,7\\ \mathrm{s}.
  • Posição onde queremos a velocidade: x=0,139\\ \mathrm{m}.
A pergunta específica: qual é o módulo de v quando x=0,139\\ \mathrm{m} ? (dar o valor numérico em \mathrm{m/s}.)

Passo 2

Vamos obter a fórmula que relaciona a velocidade com a posição em um movimento harmônico simples (MHS).
Em MHS a posição temporal pode ser escrita como
x(t)=A\cos\bigl(\omega t+\varphi\bigr),
onde:
  • x(t) é a posição no tempo t,
  • A é a amplitude,
  • \omega é a frequência angular,
  • \varphi é a fase inicial.
Derivando em relação a t obtemos a velocidade instantânea:
v(t)=\frac{dx}{dt}=-A\omega\sin\bigl(\omega t+\varphi\bigr).
Agora usamos a identidade trigonométrica \sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1. Como \cos(\omega t+\varphi)=x(t)/A, temos
\sin^{2}\bigl(\omega t+\varphi\bigr)=1-\cos^{2}\bigl(\omega t+\varphi\bigr)=1-\left(\frac{x}{A}\right)^{2}.
Substituindo em v(t) e tomando o módulo (velocidade positiva):
|v|=A\omega\sqrt{1-\left(\frac{x}{A}\right)^{2}}=\omega\sqrt{A^{2}-x^{2}}.
Aqui:
  • A e x já conhecidos,
  • \omega relaciona-se com o período por \displaystyle \omega=\frac{2\pi}{T}.
Resumo prático: use
|v|=\omega\sqrt{A^{2}-x^{2}} \qquad\text{com}\qquad \omega=\frac{2\pi}{T}.

Passo 3

Calcular \omega:
\omega=\frac{2\pi}{T}=\frac{2\pi}{3,7}\approx1,698163324\\ \mathrm{s^{-1}}.

Passo 4

Calcular A^{2}, x^{2} e a diferença:
A^{2}=(0,21)^{2}=0,0441,
x^{2}=(0,139)^{2}=0,019321,
A^{2}-x^{2}=0,0441-0,019321=0,024779.
Raiz quadrada:
\sqrt{A^{2}-x^{2}}=\sqrt{0,024779}\approx0,157414.

Passo 5

Agora calcular |v|=\omega\sqrt{A^{2}-x^{2}}:
|v|\approx 1,698163324\times0,157414\approx0,267315\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando razoavelmente (três algarismos significativos) resulta
|v|\approx0,267\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

0,267\\ \mathrm{m/s}

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