Diagonalize cada matriz dada A por meio de uma matriz ortogonal, ou seja, ache uma matriz ortogonal P tal que P^{t} A P seja diagonal:
(b) \left(\begin{array}{ll}2 & 1 \\\\ 1 & 2\end{array}\right),

Passo 1

O enunciado pede para diagonalizar a matriz real simétrica
A = \begin{pmatrix}2 & 1\\[6pt]1 & 2\end{pmatrix}
usando uma matriz ortogonal P, ou seja, achar P tal que
P^{t}AP
seja uma matriz diagonal. Para isso vamos usar que toda matriz real simétrica é diagonalizável por uma matriz ortogonal, e o método de autovalores e autovetores.]

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de A:
\det(A - \lambda I) = \det\begin{pmatrix}2-\lambda & 1\\[4pt]1 & 2-\lambda\end{pmatrix} = (2-\lambda)^2 - 1 = \lambda^2 - 4\lambda + 3.
As raízes são
\lambda_1 = 3, \quad \lambda_2 = 1.]

Passo 3

Agora achamos um autovetor para cada autovalor e normalizamos:
  1. Para \lambda_1=3, resolvemos (A-3I)v=0, isto é
    \begin{pmatrix}-1 & 1\\[4pt]1 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix} \;\Longrightarrow\; x=y.
    Um vetor próprio é (1,1). Sua norma é \sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2, logo o vetor unitário é
    e_1 = \frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix}.
  2. Para \lambda_2=1, resolvemos (A-1I)v=0, isto é
    \begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix} \;\Longrightarrow\; x=-y.
    Um vetor próprio é (1,-1). Sua norma é \sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt2, logo o vetor unitário é
    e_2 = \frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix}.]

Passo 4

Montamos a matriz ortogonal P cujas colunas são e_1 e e_2:
P = \begin{pmatrix}e_1 & e_2\end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt2} \begin{pmatrix} 1 & 1\\[4pt] 1 & -1 \end{pmatrix}.
Por construção, P^{t}P = I e
P^{t}AP = \begin{pmatrix}3 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}.]

Resposta

A matriz ortogonal que diagonaliza A é
P = \frac{1}{\sqrt2} \begin{pmatrix} 1 & 1\\[4pt] 1 & -1 \end{pmatrix},
e a forma diagonal é
P^{t}AP = \begin{pmatrix}3 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}.]

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