(1 ponto) Considere H=\left\{\left[\begin{array}{c}2 a+3 b \\\\ -b+2 \\\\ 2 a-1\end{array}\right] \in \mathbb{R}^{3}: a, b \in \mathbb{R}\right\}. O conjunto H é um subespaço de \mathbb{R}^{3} ? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado define
H = \Bigl\{\begin{pmatrix}2a+3b \\\\ -b+2 \\\\ 2a-1\end{pmatrix} \in \mathbb{R}^3 : a,b\in\mathbb{R}\Bigr\}
e pergunta se H é um subespaço de \mathbb{R}^3. Para isso, vamos usar o critério de subespaço: é preciso verificar ao menos se o vetor zero está em H e se H é fechado sob combinação linear (adição e multiplicação por escalar).

Passo 2

Para que o vetor zero \mathbf{0} = (0,0,0)^T\) pertença a \(H\), devem existir \(a,b\) tais que \[\begin{cases} 2a + 3b = 0,\\\\ -b + 2 = 0,\\\\ 2a - 1 = 0. \end{cases}
Da segunda equação vem -b+2=0\implies b=2\]. Da terceira equação vem \(2a-1=0\implies a=\tfrac12.
Substituindo na primeira equação:
2\Bigl(\tfrac12\Bigr) + 3\cdot 2 = 1 + 6 = 7 \neq 0.
Logo não há solução que produza o vetor zero.

Resposta

Não. H não é subespaço de \mathbb{R}^3 porque não contém o vetor zero, logo já falha o primeiro critério de subespaço.

Exercícios relacionados