(2 pontos) Seja H o conjunto dos vetores de \mathbb{R}^{4} da forma \left[\begin{array}{c}-3 a+2 b \\\ \sqrt{2} a-b \\\ \frac{a}{4} \\\ a-3 b\end{array}\right], com a, b \in \mathbb{R}.
(a) Determine vetores u e v tais que H=£(u, v). Por que isso mostra que H é um subespaço de \mathbb{R}^{4} ?
(b) Determine uma matriz A tal que H=\operatorname{Col}(A).

Passo 1

O enunciado define
H=\Bigl\{\begin{pmatrix}-3a+2b\\sqrt{2}\,a-b\\tfrac{a}{4}\a-3b\end{pmatrix}\;\Bigm|\;a,b\in\mathbb{R}\Bigr\}.
O conteúdo aqui é reconhecer que esse vetor genérico em função de a e b é uma combinação linear de dois vetores fixos. Para resolver (a) vamos isolar os coeficientes de a e de b; para (b) montamos uma matriz cujas colunas são esses vetores.

Passo 2

Tomando b=0 e a=0 para separar os dois vetores geradores, obtemos
u=\begin{pmatrix}-3\cdot1+2\cdot0\\sqrt{2}\cdot1-0\\tfrac{1}{4}\cdot1\\\ 1-3\cdot0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-3\\sqrt{2}\\tfrac14\\\ 1\end{pmatrix}, \quad v=\begin{pmatrix}-3\cdot0+2\cdot1\\sqrt{2}\cdot0-1\\tfrac{0}{4}\\\ 0-3\cdot1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2\\\ -1\\\ 0\\\ -3\end{pmatrix}.

Passo 3

Como qualquer vetor de H pode ser escrito como
a\,u+b\,v
para certos a,b\in\mathbb{R}, concluímos que
H=\mathrm{span}\{u,v\}.

Passo 4

Um fato padrão de Álgebra Linear é que o span (espaço gerado) de quaisquer vetores em \mathbb{R}^n é um subespaço de \mathbb{R}^n. Logo H é subespaço de \mathbb{R}^4.

Passo 5

Basta escolher a matriz A cujas colunas são exatamente u e v. Isso garante
\mathrm{Col}(A)=\mathrm{span}\{u,v\}=H.

Resposta

(a)
u=\begin{pmatrix}-3\\sqrt{2}\\tfrac14\\\ 1\end{pmatrix}, \quad v=\begin{pmatrix}2\\\ -1\\\ 0\\\ -3\end{pmatrix}.
Como H=\mathrm{span}\{u,v\}, H é subespaço de \mathbb{R}^4.
(b) Uma escolha de A é
A=\begin{pmatrix} -3 & 2\\\ \sqrt{2} & -1\\\ \tfrac14 & 0\\\\ 1 & -3 \end{pmatrix},
pois \mathrm{Col}(A)=\mathrm{span}\{u,v\}=H.

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