Diagonalize cada matriz dada A por meio de uma matriz ortogonal, ou seja, ache uma matriz ortogonal P tal que P^{t} A P seja diagonal: \left(\begin{array}{ll}2 & 1 \\\\ 1 & 2\end{array}\right),
Passo 1
O enunciado pede: encontrar uma matriz ortogonal P tal que P^{t} A P seja diagonal, para a matriz
Informações dadas: os elementos de A são a_{11}=2, a_{12}=a_{21}=1, a_{22}=2. A única pergunta é achar P ortogonal que diagonaliza A (isto é, P^{t}AP diagonal) e mostrar essa matriz diagonal.]
Passo 2
Vamos encontrar os autovalores de A via polinômio característico. Para isso calculamos \det(A-\lambda I). A definição: para uma matriz 2\times2,
\det\begin{pmatrix}a-\lambda & b \\[4pt] c & d-\lambda\end{pmatrix}=(a-\lambda)(d-\lambda)-bc.
A equação (A-1I)v=0 dá x+y=0, isto é y=-x. Podemos escolher o autovetor
v_2=\begin{pmatrix}1\\[4pt] -1\end{pmatrix}.]
Passo 4
Agora normalizamos os autovetores para obter um conjunto ortonormal (colunas de P). A norma eu calculo com a definição: para v=(x,y), \|v\|=\sqrt{x^2+y^2}.
Para v_1 temos \|v_1\|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}. Então o vetor unitário correspondente é
Observação importante (didática): u_1 e u_2 são ortogonais porque o produto interno u_1\cdot u_2=\frac{1}{2}(1\cdot1+1\cdot(-1))=0. Dois vetores unitários e mutuamente ortogonais formam uma base ortonormal.]
Passo 5
Construímos a matriz P cujas colunas são u_1 e u_2:
porque P^{t}u_1=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix} e P^{t}u_2=\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix} quando as colunas de P são u_1,u_2. Em palavras: em base ortonormal de autovetores, a matriz fica diagonal com os autovalores na diagonal.]
Passo 6
Conclusão prática e encorajamento: escolhemos autovalores \lambda=3,1, achamos autovetores (1,1) e (1,-1), normalizamos e montamos a matriz ortogonal P mostrada no passo anterior. Com isso P^{t}AP é diagonal com entradas 3 e 1. Mandou bem de vir pedir ajuda — esse método é padrão para matrizes simétricas e funciona sempre assim.