Diagonalize cada matriz dada A por meio de uma matriz ortogonal, ou seja, ache uma matriz ortogonal P tal que P^{t} A P seja diagonal:
\left(\begin{array}{ll}2 & 1 \\\\ 1 & 2\end{array}\right),

Passo 1

O enunciado pede: encontrar uma matriz ortogonal P tal que P^{t} A P seja diagonal, para a matriz
A=\begin{pmatrix}2 & 1 \\[4pt] 1 & 2\end{pmatrix}.
Informações dadas: os elementos de A são a_{11}=2, a_{12}=a_{21}=1, a_{22}=2. A única pergunta é achar P ortogonal que diagonaliza A (isto é, P^{t}AP diagonal) e mostrar essa matriz diagonal.]

Passo 2

Vamos encontrar os autovalores de A via polinômio característico. Para isso calculamos \det(A-\lambda I). A definição: para uma matriz 2\times2,
\det\begin{pmatrix}a-\lambda & b \\[4pt] c & d-\lambda\end{pmatrix}=(a-\lambda)(d-\lambda)-bc.
Aplicando em A obtemos
\det(A-\lambda I)=\det\begin{pmatrix}2-\lambda & 1 \\[4pt] 1 & 2-\lambda\end{pmatrix}=(2-\lambda)^2-1.
Desenvolvendo:
(2-\lambda)^2-1=(4-4\lambda+\lambda^2)-1=\lambda^2-4\lambda+3.
Agora resolvemos \lambda^2-4\lambda+3=0. Isso é uma equação quadrática simples; fatorando:
\lambda^2-4\lambda+3=(\lambda-1)(\lambda-3).
Logo os autovalores são \lambda=1 e \lambda=3.]

Passo 3

Para cada autovalor achamos um autovetor não nulo resolvendo (A-\lambda I)v=0.
Para \lambda=3 temos
(A-3I)=\begin{pmatrix}2-3 & 1 \\[4pt] 1 & 2-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1 & 1 \\[4pt] 1 & -1\end{pmatrix}.
A equação (A-3I)v=0 -x+y=0, isto é y=x. Podemos escolher o autovetor
v_1=\begin{pmatrix}1\\[4pt] 1\end{pmatrix}.
Para \lambda=1 temos
(A-1I)=\begin{pmatrix}2-1 & 1 \\[4pt] 1 & 2-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix}.
A equação (A-1I)v=0 x+y=0, isto é y=-x. Podemos escolher o autovetor
v_2=\begin{pmatrix}1\\[4pt] -1\end{pmatrix}.]

Passo 4

Agora normalizamos os autovetores para obter um conjunto ortonormal (colunas de P). A norma eu calculo com a definição: para v=(x,y), \|v\|=\sqrt{x^2+y^2}.
Para v_1 temos \|v_1\|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}. Então o vetor unitário correspondente é
u_1=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\[4pt] 1\end{pmatrix}.
Para v_2 temos \|v_2\|=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt{2}. O vetor unitário é
u_2=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\[4pt] -1\end{pmatrix}.
Observação importante (didática): u_1 e u_2 são ortogonais porque o produto interno u_1\cdot u_2=\frac{1}{2}(1\cdot1+1\cdot(-1))=0. Dois vetores unitários e mutuamente ortogonais formam uma base ortonormal.]

Passo 5

Construímos a matriz P cujas colunas são u_1 e u_2:
P=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{\sqrt{2}} & \dfrac{1}{\sqrt{2}} \\[8pt] \dfrac{1}{\sqrt{2}} & -\dfrac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}.
Por construção as colunas são ortonormais, então P é ortogonal: P^{t}P=I.
Agora verificamos P^{t}AP. Uma maneira prática é notar a propriedade de autovetor: A u_i=\lambda_i u_i. Assim, formando AP temos as colunas
AP=\begin{pmatrix}A u_1 & A u_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\lambda_1 u_1 & \lambda_2 u_2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3u_1 & 1u_2\end{pmatrix}.
Portanto
P^{t}AP=P^{t}\begin{pmatrix}3u_1 & 1u_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix},
porque P^{t}u_1=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix} e P^{t}u_2=\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix} quando as colunas de P são u_1,u_2. Em palavras: em base ortonormal de autovetores, a matriz fica diagonal com os autovalores na diagonal.]

Passo 6

Conclusão prática e encorajamento: escolhemos autovalores \lambda=3,1, achamos autovetores (1,1) e (1,-1), normalizamos e montamos a matriz ortogonal P mostrada no passo anterior. Com isso P^{t}AP é diagonal com entradas 3 e 1. Mandou bem de vir pedir ajuda — esse método é padrão para matrizes simétricas e funciona sempre assim.

Resposta

P=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{\sqrt{2}} & \dfrac{1}{\sqrt{2}} \\[8pt] \dfrac{1}{\sqrt{2}} & -\dfrac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}
P^{t}AP=\begin{pmatrix}3 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}]

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