Considere definido em
o produto interno usual. Aplique o processo de ortogonalização de GramSchmidt às seguintes bases:
.
Passo 1
O enunciado pede que eu aplique o processo de ortogonalização de Gram–Schmidt à base dada em
. As informações fornecidas são os três vetores que formam a base:
O objetivo final é produzir um conjunto de três vetores ortogonais (uma base ortogonal) obtidos a partir desses vetores.
Passo 2
Antes de começar a calcular, vamos lembrar (e entender) as ferramentas que usaremos:
- Produto interno usual em
: para e ,
Isto é só a soma dos produtos das componentes.
- Norma associada: para
,
É o comprimento do vetor.
- Projeção de
sobre (quando ): é o vetor
Isso representa a componente de
na direção de
.
- Gram–Schmidt (versão curta): dado
definimos
então
será um conjunto ortogonal (desde que os vetores iniciais sejam linearmente independentes, o que é o caso porque formam uma base).
Agora aplico essas fórmulas passo a passo, mostrando cada cálculo.
Passo 3
Começo por
:
Calculo também
porque vai aparecer nas projeções:
Passo 4
Agora vou calcular
.
Primeiro a produto interno
:
A projeção é
Logo
Simplificando as frações:
Observação prática: podemos multiplicar
por qualquer escalar não nulo e ainda manteremos um vetor ortogonal (a base muda por escala). Para ficar com entradas inteiras mais simples, multiplico por
e uso o vetor proporcional
Vou passar a usar
(é proporcional ao anterior e facilita contas).
Passo 5
Verifico
e
para calcular
.
Primeiro
:
Agora
:
E
:
Passo 6
Calculo as projeções necessárias:
- Projeção de
sobre :
- Projeção de
sobre (usando ):
Simplificando a fração
por
dá
. Então
Passo 7
Agora
. Faço subtrações componte a componente, usando denominador comum
para facilitar:
Escrevendo
e
com denominador
:
Então
Subtraindo
:
Simplificando por
:
Novamente, multiplico por
para obter entradas inteiras e mais bonitas (escala não muda a ortogonalidade):
Para ficar com sinal positivo e mais agradável, posso também multiplicar por
, obtendo
Qualquer das versões escalares é correta; escolho
.
Passo 8
Confiro rapidamente ortogonalidade por produto interno (checagem rápida):
Tudo zero, logo
é realmente uma base ortogonal.
Se quiser uma base ortonormal (todos de norma
), basta normalizar cada
. Os comprimentos são:
portanto a base ortonormal seria