Considere definido em \mathbb{R}^{3} o produto interno usual. Aplique o processo de ortogonalização de GramSchmidt às seguintes bases:
\{(1,-2,2),(-1,0,1),(5,-3,-7)\}.

Passo 1

O enunciado pede que eu aplique o processo de ortogonalização de Gram–Schmidt à base dada em \mathbb{R}^3. As informações fornecidas são os três vetores que formam a base:
v_1=(1,-2,2),\qquad v_2=(-1,0,1),\qquad v_3=(5,-3,-7).
O objetivo final é produzir um conjunto de três vetores ortogonais (uma base ortogonal) obtidos a partir desses vetores.

Passo 2

Antes de começar a calcular, vamos lembrar (e entender) as ferramentas que usaremos:
  • Produto interno usual em \mathbb{R}^3: para x=(x_1,x_2,x_3) e y=(y_1,y_2,y_3),
\langle x,y\rangle = x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3.
Isto é só a soma dos produtos das componentes.
  • Norma associada: para x,
\|x\|=\sqrt{\langle x,x\rangle}.
É o comprimento do vetor.
  • Projeção de v sobre u (quando u\neq 0): é o vetor
\operatorname{proj}_u v=\frac{\langle v,u\rangle}{\langle u,u\rangle}\,u.
Isso representa a componente de v na direção de u.
  • Gram–Schmidt (versão curta): dado (v_1,v_2,v_3) definimos
\begin{aligned} u_1&=v_1,\\\ u_2&=v_2-\operatorname{proj}_{u_1}v_2,\\\ u_3&=v_3-\operatorname{proj}_{u_1}v_3-\operatorname{proj}_{u_2}v_3, \end{aligned}
então (u_1,u_2,u_3) será um conjunto ortogonal (desde que os vetores iniciais sejam linearmente independentes, o que é o caso porque formam uma base).
Agora aplico essas fórmulas passo a passo, mostrando cada cálculo.

Passo 3

Começo por u_1:
u_1=v_1=(1,-2,2).
Calculo também \langle u_1,u_1\rangle porque vai aparecer nas projeções:
\langle u_1,u_1\rangle = 1^2+(-2)^2+2^2 = 1+4+4=9.

Passo 4

Agora vou calcular u_2=v_2-\operatorname{proj}_{u_1}v_2.
Primeiro a produto interno \langle v_2,u_1\rangle:
\langle v_2,u_1\rangle = (-1)\cdot1 + 0\cdot(-2) + 1\cdot2 = -1+0+2 = 1.
A projeção é
\operatorname{proj}_{u_1}v_2 = \frac{\langle v_2,u_1\rangle}{\langle u_1,u_1\rangle}u_1 = \frac{1}{9}(1,-2,2).
Logo
u_2 = v_2 - \frac{1}{9}u_1 = (-1,0,1) - \frac{1}{9}(1,-2,2) = \left(-1-\frac{1}{9},\;0+\frac{2}{9},\;1-\frac{2}{9}\right).
Simplificando as frações:
u_2 = \left(-\frac{10}{9},\;\frac{2}{9},\;\frac{7}{9}\right).
Observação prática: podemos multiplicar u_2 por qualquer escalar não nulo e ainda manteremos um vetor ortogonal (a base muda por escala). Para ficar com entradas inteiras mais simples, multiplico por 9 e uso o vetor proporcional
u_2' = 9u_2 = (-10,2,7).
Vou passar a usar u_2 = (-10,2,7) (é proporcional ao anterior e facilita contas).

Passo 5

Verifico \langle u_2,u_2\rangle e \langle v_3,u_1\rangle,\langle v_3,u_2\rangle para calcular u_3.
Primeiro \langle u_2,u_2\rangle:
\langle u_2,u_2\rangle = (-10)^2+2^2+7^2 = 100+4+49 = 153.
Agora \langle v_3,u_1\rangle:
\langle v_3,u_1\rangle = 5\cdot1 + (-3)\cdot(-2) + (-7)\cdot2 = 5+6-14 = -3.
E \langle v_3,u_2\rangle:
\langle v_3,u_2\rangle = 5\cdot(-10) + (-3)\cdot2 + (-7)\cdot7 = -50 -6 -49 = -105.

Passo 6

Calculo as projeções necessárias:
  • Projeção de v_3 sobre u_1:
\operatorname{proj}_{u_1}v_3 = \frac{\langle v_3,u_1\rangle}{\langle u_1,u_1\rangle}u_1 = \frac{-3}{9}(1,-2,2) = \left(-\frac{1}{3},\;\frac{2}{3},\;-\frac{2}{3}\right).
  • Projeção de v_3 sobre u_2 (usando u_2=(-10,2,7)):
\operatorname{proj}_{u_2}v_3 = \frac{\langle v_3,u_2\rangle}{\langle u_2,u_2\rangle}u_2 = \frac{-105}{153}(-10,2,7).
Simplificando a fração -105/153 por 3 -35/51. Então
\operatorname{proj}_{u_2}v_3 = -\frac{35}{51}(-10,2,7) = \left(\frac{350}{51},\;-\frac{70}{51},\;-\frac{245}{51}\right).

Passo 7

Agora u_3=v_3-\operatorname{proj}_{u_1}v_3-\operatorname{proj}_{u_2}v_3. Faço subtrações componte a componente, usando denominador comum 51 para facilitar:
Escrevendo v_3 e \operatorname{proj}_{u_1}v_3 com denominador 51:
v_3=\left(\frac{255}{51},-\frac{153}{51},-\frac{357}{51}\right),\qquad \operatorname{proj}_{u_1}v_3=\left(-\frac{17}{51},\frac{34}{51},-\frac{34}{51}\right).
Então
v_3-\operatorname{proj}_{u_1}v_3=\left(\frac{272}{51},-\frac{187}{51},-\frac{323}{51}\right).
Subtraindo \operatorname{proj}_{u_2}v_3:
u_3=\left(\frac{272}{51}-\frac{350}{51},\;-\frac{187}{51}+\frac{70}{51},\;-\frac{323}{51}+\frac{245}{51}\right) =\left(-\frac{78}{51},\;-\frac{117}{51},\;-\frac{78}{51}\right).
Simplificando por 3:
u_3=\left(-\frac{26}{17},\;-\frac{39}{17},\;-\frac{26}{17}\right).
Novamente, multiplico por 17 para obter entradas inteiras e mais bonitas (escala não muda a ortogonalidade):
u_3' = 17u_3 = (-26,-39,-26).
Para ficar com sinal positivo e mais agradável, posso também multiplicar por -1, obtendo
u_3 = (26,39,26).
Qualquer das versões escalares é correta; escolho u_3=(26,39,26).

Passo 8

Confiro rapidamente ortogonalidade por produto interno (checagem rápida):
\langle u_1,u_2\rangle = (1)(-10)+(-2)2+(2)7 = -10-4+14=0,
\langle u_1,u_3\rangle = (1)26+(-2)39+(2)26 = 26-78+52=0,
\langle u_2,u_3\rangle = (-10)26 + 2\cdot39 + 7\cdot26 = -260+78+182=0.
Tudo zero, logo (u_1,u_2,u_3) é realmente uma base ortogonal.
Se quiser uma base ortonormal (todos de norma 1), basta normalizar cada u_i. Os comprimentos são:
\|u_1\|=3,\qquad \|u_2\|=\sqrt{153}=3\sqrt{17},\qquad \|u_3\|=\sqrt{2873}=13\sqrt{17},
portanto a base ortonormal seria
\frac{u_1}{3},\qquad \frac{u_2}{3\sqrt{17}},\qquad \frac{u_3}{13\sqrt{17}}.

Resposta

(1,-2,2)
(-10,2,7)
(26,39,26)

Exercícios relacionados