Diagonalize cada matriz dada A por meio de uma matriz ortogonal, ou seja, ache uma matriz ortogonal P tal que P^{t} A P seja diagonal:
\left(\begin{array}{lll}0 & 0 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ 1 & 0 & 0\end{array}\right).

Passo 1

O enunciado pede que eu diagonalize a matriz A por meio de uma matriz ortogonal: encontrar uma matriz ortogonal P tal que P^{t} A P seja diagonal. A matriz dada é
A = \begin{pmatrix}0 & 0 & 1 \\[4pt] 0 & 0 & 0 \\[4pt] 1 & 0 & 0\end{pmatrix}.
Informações relevantes dadas no enunciado:
\text{(i) } A \text{ está explicitamente fornecida acima.}á
\text{(ii) Deseja-se uma matriz } P \text{ ortogonal (colunas ortonormais) tal que } P^{t}AP \text{ seja diagonal.}]

Passo 2

Vou achar os autovalores de A calculando o polinômio característico \det(A-\lambda I). Escrevo a matriz A-\lambda I:
A-\lambda I = \begin{pmatrix}-\lambda & 0 & 1 \\[4pt] 0 & -\lambda & 0 \\[4pt] 1 & 0 & -\lambda\end{pmatrix}.
Calculo o determinante por expansão na primeira linha (ou por fórmula direta):
\det(A-\lambda I) = (-\lambda)\det\begin{pmatrix}-\lambda & 0 \\[4pt] 0 & -\lambda\end{pmatrix} - 0 + 1\cdot\det\begin{pmatrix}0 & -\lambda \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}.
Agora avalio cada termo:
(-\lambda)\det\begin{pmatrix}-\lambda & 0 \\[4pt] 0 & -\lambda\end{pmatrix} = (-\lambda)(\lambda^2) = -\lambda^3,
\det\begin{pmatrix}0 & -\lambda \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix} = 0\cdot0 - (-\lambda)\cdot1 = \lambda.
Portanto
\det(A-\lambda I) = -\lambda^3 + \lambda = \lambda(1-\lambda^2).
Das raízes obtemos os autovalores
\lambda = 0,\quad \lambda = 1,\quad \lambda = -1.]

Passo 3

Agora encontro autovetores associados a cada autovalor. Começo por \lambda=1. Resolve-se (A-I)v=0. A matriz A-I é
A-I = \begin{pmatrix}-1 & 0 & 1 \\[4pt] 0 & -1 & 0 \\[4pt] 1 & 0 & -1\end{pmatrix}.
Se v=(x,y,z)^t, as equações são
- x + z = 0,\qquad -y = 0,\qquad x - z = 0.
Da segunda equação vem y=0. Da primeira (ou terceira) vem z=x. Logo os autovetores são múltiplos de (1,0,1)^t. Para obter vetor unitário (normalização) calculo a norma:
\|(1,0,1)\| = \sqrt{1^2+0^2+1^2} = \sqrt{2}.
Um autovetor unitário correspondente é
u_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix}.]

Passo 4

Agora para \lambda=-1 resolvo (A+I)v=0. A matriz A+I é
A+I = \begin{pmatrix}1 & 0 & 1 \\[4pt] 0 & 1 & 0 \\[4pt] 1 & 0 & 1\end{pmatrix}.
As equações para v=(x,y,z)^t são
x + z = 0,\qquad y = 0,\qquad x + z = 0.
Da segunda equação vem y=0. Da primeira vem z=-x. Então os autovetores são múltiplos de (1,0,-1)^t. Normalizando:
\|(1,0,-1)\| = \sqrt{1^2+0^2+(-1)^2} = \sqrt{2}.
Um autovetor unitário correspondente é
u_3 = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]-1\end{pmatrix}.]

Passo 5

Para \lambda=0 resolvo A v = 0. Escrevendo A v = (z,0,x)^t, a condição A v = 0
z=0,\qquad 0=0,\qquad x=0.
Assim x=0, z=0 e y é livre. Um autovetor não nulo é (0,1,0)^t. Normalizando (já é unitário):
u_2 = \begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix}.]

Passo 6

Verifico que os vetores u_1,u_2,u_3 são mutuamente ortogonais e unitários (ou seja, ortonormais). Calculo produtos internos:
u_1\cdot u_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}(1,0,1)\cdot(0,1,0)=0,
u_3\cdot u_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}(1,0,-1)\cdot(0,1,0)=0,
u_1\cdot u_3 = \frac{1}{2}(1,0,1)\cdot(1,0,-1)=\frac{1-1}{2}=0.
E todos têm norma 1. Portanto \{u_1,u_2,u_3\} é uma base ortonormal de autovetores.

Passo 7

Monto a matriz ortogonal P cujas colunas são os autovetores ortonormais. Tomando a ordem que põe os autovalores na diagonal na ordem 1,0,-1 (essa ordem é uma escolha conveniente), escolho colunas na ordem u_1,u_2,u_3. Assim
P = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[6pt] 0 & 1 & 0 \\[6pt] \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}.
Como as colunas são ortonormais, P é ortogonal, isto é, P^{t}P=I.]

Passo 8

Pela propriedade de autovetores, A u_1 = 1\cdot u_1, A u_2 = 0\cdot u_2 e A u_3 = -1\cdot u_3. Quando eu forma P^{t} A P, cada coluna de P corresponde a um autovetor e o produto resulta na matriz diagonal cujas entradas diagonais são os autovalores associados na mesma ordem. Logo
P^{t} A P = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & -1\end{pmatrix}.
Se quiser, pode-se multiplicar explicitamente P^{t}AP e confirmar o resultado, mas a argumentação por autovetores ortonormais já garante isso.]

Resposta

P = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[6pt] 0 & 1 & 0 \\[6pt] \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}
P^{t} A P = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & -1\end{pmatrix}]

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