Diagonalize cada matriz dada A por meio de uma matriz ortogonal, ou seja, ache uma matriz ortogonal P tal que P^{t} A P seja diagonal: \left(\begin{array}{lll}0 & 0 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ 1 & 0 & 0\end{array}\right).
Passo 1
O enunciado pede que eu diagonalize a matriz A por meio de uma matriz ortogonal: encontrar uma matriz ortogonal P tal que P^{t} A P seja diagonal. A matriz dada é
Da segunda equação vem y=0. Da primeira (ou terceira) vem z=x. Logo os autovetores são múltiplos de (1,0,1)^t. Para obter vetor unitário (normalização) calculo a norma:
E todos têm norma 1. Portanto \{u_1,u_2,u_3\} é uma base ortonormal de autovetores.
Passo 7
Monto a matriz ortogonal P cujas colunas são os autovetores ortonormais. Tomando a ordem que põe os autovalores na diagonal na ordem 1,0,-1 (essa ordem é uma escolha conveniente), escolho colunas na ordem u_1,u_2,u_3. Assim
Como as colunas são ortonormais, P é ortogonal, isto é, P^{t}P=I.]
Passo 8
Pela propriedade de autovetores, A u_1 = 1\cdot u_1, A u_2 = 0\cdot u_2 e A u_3 = -1\cdot u_3. Quando eu forma P^{t} A P, cada coluna de P corresponde a um autovetor e o produto resulta na matriz diagonal cujas entradas diagonais são os autovalores associados na mesma ordem. Logo