Diagonalize a matriz A=\left(\begin{array}{cc}5 & 3 \\\\ 3 & -3\end{array}\right). Encontre uma matriz invertível M tal que M^{-1} A M seja diagonal. Verifique que os elementos da diagonal são os autovalores de A.

Passo 1

O enunciado pede para diagonalizar
A = \begin{pmatrix}5 & 3\\[6pt]3 & -3\end{pmatrix}
ou seja, encontrar uma matriz invertível M tal que
M^{-1} A M = D
seja diagonal. O conteúdo necessário é o conceito de autovalores (raízes do polinômio característico) e autovetores (soluções de (A-\lambda I)v=0). A diagonal de D deve conter exatamente os autovalores de A.]

Passo 2

Vamos calcular o polinômio característico de A:
\det(A - \lambda I) = \det\!\begin{pmatrix}5-\lambda & 3\\[4pt]3 & -3-\lambda\end{pmatrix} = (5-\lambda)(-3-\lambda) - 3\cdot 3.
Expandindo,
(5-\lambda)(-3-\lambda) -9 = -15 -5\lambda +3\lambda +\lambda^2 -9 = \lambda^2 -2\lambda -24.
Igualando a zero,
\lambda^2 -2\lambda -24 = 0 \quad\Longrightarrow\quad \lambda = \frac{2\pm\sqrt{4+96}}{2} = \frac{2\pm10}{2},
portanto
\lambda_1 = 6, \quad \lambda_2 = -4.]

Passo 3

Agora achamos um autovetor para cada autovalor.
Para \lambda_1=6, resolvemos
(A - 6I)v = 0 \;\Longrightarrow\; \begin{pmatrix}-1 & 3\\[4pt]3 & -9\end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_1\\[3pt]v_2\end{pmatrix} = 0 \;\Longrightarrow\; -\,v_1 + 3v_2 = 0 \;\Longrightarrow\; v_1 = 3v_2.
Escolhemos v_2=1, daí um autovetor é
v^{(1)} = \begin{pmatrix}3\\[3pt]1\end{pmatrix}.
Para \lambda_2=-4, resolvemos
(A + 4I)v = 0 \;\Longrightarrow\; \begin{pmatrix}9 & 3\\[4pt]3 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_1\\[3pt]v_2\end{pmatrix} = 0 \;\Longrightarrow\; 9v_1 +3v_2 = 0 \;\Longrightarrow\; v_1 = -\tfrac{1}{3}v_2.
Escolhemos v_2=3, daí um autovetor é
v^{(2)} = \begin{pmatrix}-1\\[3pt]3\end{pmatrix}.]

Passo 4

Montamos a matriz de passagem M cujas colunas são os autovetores:
M = \begin{pmatrix}3 & -1\\[4pt]1 & 3\end{pmatrix}.
Calculamos seu inverso. O determinante é
\det M = 3\cdot3 -(-1)\cdot1 = 9+1 =10, então
M^{-1} = \frac{1}{10} \begin{pmatrix}3 & 1\\[4pt]-1 & 3\end{pmatrix}.
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M^{-1} A M = \frac{1}{10} \begin{pmatrix}3 & 1\\\\ -1 & 3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}5 & 3\\\\ 3 & -3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}3 & -1\\\\ 1 & 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6 & 0\\[4pt]0 & -4\end{pmatrix}.]

Passo 5

Observamos que a matriz diagonal obtida tem justamente os autovalores \lambda_1=6 e \lambda_2=-4 na diagonal, como desejado. Isso confirma que a diagonalização está correta.

Resposta

Uma escolha possível é
M = \begin{pmatrix}3 & -1\\[4pt]1 & 3\end{pmatrix},
com inversa
M^{-1} = \frac{1}{10}\begin{pmatrix}3 & 1\\[4pt]-1 & 3\end{pmatrix},
e de fato
M^{-1}AM = \begin{pmatrix}6 & 0\\[4pt]0 & -4\end{pmatrix},
cuja diagonal são os autovalores de A.]

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