Diagonalize a matriz A=\left(\begin{array}{cc}5 & 3 \\\\ 3 & -3\end{array}\right). Encontre uma matriz invertível M tal que M^{-1} A M seja diagonal. Verifique que os elementos da diagonal são os autovalores de A.
Passo 1
O enunciado pede para diagonalizar
A = \begin{pmatrix}5 & 3\\[6pt]3 & -3\end{pmatrix}
ou seja, encontrar uma matriz invertível M tal que
M^{-1} A M = D
seja diagonal. O conteúdo necessário é o conceito de autovalores (raízes do polinômio característico) e autovetores (soluções de (A-\lambda I)v=0). A diagonal de D deve conter exatamente os autovalores de A.]
Observamos que a matriz diagonal obtida tem justamente os autovalores \lambda_1=6 e \lambda_2=-4 na diagonal, como desejado. Isso confirma que a diagonalização está correta.
Resposta
Uma escolha possível é
M = \begin{pmatrix}3 & -1\\[4pt]1 & 3\end{pmatrix},