Resolva o seguinte sistema de equações diferenciais:
Utilize a diagonalização de uma matriz apropriada para facilitar a resolução.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o sistema de equações diferenciais lineares de primeira ordem
usando diagonalização de uma matriz. O conteúdo é teoria de sistemas lineares com coeficientes constantes, em que representamos o sistema como
e diagonalizamos
.
Passo 2
Escrevemos o sistema em forma matricial. Definimos
de modo que
Para diagonalizar
, precisamos achar os autovalores e autovetores de
.]
Passo 3
Calculamos o polinômio característico de
:
Expandindo,
Assim, os autovalores
satisfazem
ou seja
Passo 4
Agora achamos os autovetores.
Para
resolvemos
:
daí
. Tomamos
.
Para
resolvemos
:
daí
. Tomamos
.
Passo 5
Montamos a matriz de passagem
e diagonalizamos
:
Fazemos a mudança de variável
. Então
Isto gera o sistema decoupled
cuja solução geral é
Passo 6
Voltando às variáveis originais,
, temos
]
Resposta
Portanto, a solução geral do sistema é
onde
e
são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.