Resolva o seguinte sistema de equações diferenciais:
\left\{\begin{array}{l} x^{\prime}(t)=5 x(t)+3 y(t) \\\ y^{\prime}(t)=3 x(t)-3 y(t) \end{array}\right.
Utilize a diagonalização de uma matriz apropriada para facilitar a resolução.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema de equações diferenciais lineares de primeira ordem
\begin{cases} x'(t)=5\,x(t)+3\,y(t),\\\ y'(t)=3\,x(t)-3\,y(t), \end{cases}
usando diagonalização de uma matriz. O conteúdo é teoria de sistemas lineares com coeficientes constantes, em que representamos o sistema como \mathbf X' = A\,\mathbf X e diagonalizamos A.

Passo 2

Escrevemos o sistema em forma matricial. Definimos
\mathbf X(t)=\begin{pmatrix}x(t)\y(t)\end{pmatrix}, \quad A=\begin{pmatrix}5 & 3\\[6pt]3 & -3\end{pmatrix},
de modo que
\mathbf X'(t)=A\,\mathbf X(t).
Para diagonalizar A, precisamos achar os autovalores e autovetores de A.]

Passo 3

Calculamos o polinômio característico de A:
\det(A-\lambda I) =\det\!\begin{pmatrix}5-\lambda & 3\\[3pt]3 & -3-\lambda\end{pmatrix} =(5-\lambda)(-3-\lambda)-3\cdot3.
Expandindo,
(5-\lambda)(-3-\lambda)-9 =-(5-\lambda)(3+\lambda)-9 =\lambda^2-2\lambda-24.
Assim, os autovalores \lambda satisfazem
\lambda^2-2\lambda-24=0 \quad\Longrightarrow\quad \lambda=\frac{2\pm\sqrt{4+96}}{2} =\frac{2\pm10}{2},
ou seja
\lambda_1=6, \quad \lambda_2=-4.]

Passo 4

Agora achamos os autovetores.
Para \lambda_1=6 resolvemos (A-6I)v=0:
\begin{pmatrix}5-6 & 3\\\ 3 & -3-6\end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_1\v_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1 & 3\\\ 3 & -9\end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_1\v_2\end{pmatrix} =0
daí -v_1+3v_2=0\implies v_1=3v_2. Tomamos v^{(1)}=(3,1)^T.
Para \lambda_2=-4 resolvemos (A+4I)u=0:
\begin{pmatrix}5+4 & 3\\\ 3 & -3+4\end{pmatrix} \begin{pmatrix}u_1\u_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}9 & 3\\\ 3 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}u_1\u_2\end{pmatrix} =0
daí 9u_1+3u_2=0\implies u_1=-\tfrac13u_2. Tomamos v^{(2)}=(-1,3)^T.

Passo 5

Montamos a matriz de passagem P=[v^{(1)}\;v^{(2)}] e diagonalizamos A:
P=\begin{pmatrix}3 & -1\\\ 1 & 3\end{pmatrix}, \quad P^{-1}AP =\begin{pmatrix}6 & 0\\\ 0 & -4\end{pmatrix}.
Fazemos a mudança de variável \mathbf X=P\,\mathbf U. Então
\mathbf X' = A\,\mathbf X \;\longrightarrow\; P\,\mathbf U' = A\,P\,\mathbf U \;\longrightarrow\; \mathbf U' = P^{-1}AP\,\mathbf U =\begin{pmatrix}6 & 0\\\ 0 & -4\end{pmatrix}\mathbf U.
Isto gera o sistema decoupled
u_1'=6\,u_1, \quad u_2'=-4\,u_2,
cuja solução geral é
u_1(t)=C_1\,e^{6t}, \quad u_2(t)=C_2\,e^{-4t}.

Passo 6

Voltando às variáveis originais, \mathbf X=P\,\mathbf U, temos
\begin{pmatrix}x(t)\y(t)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 & -1\\\ 1 & 3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}C_1\,e^{6t}\\[3pt]C_2\,e^{-4t}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\,C_1\,e^{6t}-C_2\,e^{-4t}\\[6pt] C_1\,e^{6t}+3\,C_2\,e^{-4t} \end{pmatrix}.]

Resposta

Portanto, a solução geral do sistema é
x(t)=3\,C_{1}\,e^{6t}-C_{2}\,e^{-4t}, \quad y(t)=C_{1}\,e^{6t}+3\,C_{2}\,e^{-4t},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.

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