Calcule os autovalores reais e respectivos autovetores para as seguintes matrizes de rotação:
(b) Rotação de \frac{\pi}{2} em torno do vetor (1,1,1) :
\frac{1}{3}\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1-\sqrt{3} & 1+\sqrt{3} \\\\ 1+\sqrt{3} & 1 & 1-\sqrt{3} \\\\ 1-\sqrt{3} & 1+\sqrt{3} & 1 \end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede os autovalores reais e os autovetores correspondentes da matriz
A = \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 1 & 1-\sqrt{3} & 1+\sqrt{3} \\\\ 1+\sqrt{3} & 1 & 1-\sqrt{3} \\\\ 1-\sqrt{3} & 1+\sqrt{3} & 1 \end{pmatrix}
que representa a rotação de \pi/2 em torno do eixo dado pelo vetor (1,1,1). Para resolver, vamos usar o fato de que em \mathbb{R}^3 uma rotação fixa um vetor na direção do seu eixo (autovalor 1) e os outros dois autovalores são complexos conjugados de módulo 1.

Passo 2

Em qualquer rotação de ângulo \theta em \mathbb{R}^3, os autovalores são
1,\quad e^{i\theta},\quad e^{-i\theta}.
Aqui \theta=\pi/2, de modo que os dois últimos são i e -i, não reais. Logo, o único autovalor real é
\lambda = 1.

Passo 3

Para encontrar o autovetor associado a \lambda=1 resolvemos
(A - I)v = 0.
Em vez de montar todo o sistema, note que o eixo de rotação (1,1,1) deve ser fixo por A. Vamos verificar diretamente que
A\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}.

Passo 4

Calculemos a primeira componente de A(1,1,1)^T:
\frac{1}{3}\bigl(1 + (1-\sqrt{3}) + (1+\sqrt{3})\bigr) = \frac{1}{3}(3) = 1.
De modo análogo, a segunda e a terceira componentes também somam 1. Portanto
A\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix},
confirmando que (1,1,1)^T é autovetor de \lambda=1.

Passo 5

Como os outros autovalores são i e -i, não há mais autovalores reais além de \lambda=1. Assim, em \mathbb{R}^3 o único autovetor (até múltiplo escalar) é o vetor na direção do eixo de rotação.

Resposta

O único autovalor real é
\lambda = 1
e seu autovetor correspondente é qualquer múltiplo de
\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}.

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