que representa a rotação de \pi/2 em torno do eixo dado pelo vetor (1,1,1). Para resolver, vamos usar o fato de que em \mathbb{R}^3 uma rotação fixa um vetor na direção do seu eixo (autovalor 1) e os outros dois autovalores são complexos conjugados de módulo 1.
Passo 2
Em qualquer rotação de ângulo \theta em \mathbb{R}^3, os autovalores são
1,\quad e^{i\theta},\quad e^{-i\theta}.
Aqui \theta=\pi/2, de modo que os dois últimos são i e -i, não reais. Logo, o único autovalor real é
\lambda = 1.
Passo 3
Para encontrar o autovetor associado a \lambda=1 resolvemos
(A - I)v = 0.
Em vez de montar todo o sistema, note que o eixo de rotação (1,1,1) deve ser fixo por A. Vamos verificar diretamente que
confirmando que (1,1,1)^T é autovetor de \lambda=1.
Passo 5
Como os outros autovalores são i e -i, não há mais autovalores reais além de \lambda=1. Assim, em \mathbb{R}^3 o único autovetor (até múltiplo escalar) é o vetor na direção do eixo de rotação.
Resposta
O único autovalor real é
\lambda = 1
e seu autovetor correspondente é qualquer múltiplo de