Diagonalize, se possível, a matriz
A=\left(\begin{array}{ccc} 2 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 2 & -2 & 3 \end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede para diagonalizar, se possível, a matriz
A=\begin{pmatrix} 2 & 2 & 1\\\\ 1 & 0 & 1\\\\ 2 & -2 & 3 \end{pmatrix}.
O conteúdo aqui é autovalores e autovetores de matrizes quadradas e a construção de uma decomposição A=PDP^{-1}. Para isso precisamos calcular o polinômio característico de A, encontrar suas raízes (autovalores) e depois os autovetores associados, verificando que temos três vetores linearmente independentes.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico
\det(A-\lambda I) =\det\begin{pmatrix} 2-\lambda & 2 & 1\\\\ 1 & -\lambda & 1\\\\ 2 & -2 & 3-\lambda \end{pmatrix}.
Expandindo pela primeira linha, obtemos
(2-\lambda)\bigl(-\lambda(3-\lambda)-(-2)\bigr) -2\bigl(1\cdot(3-\lambda)-1\cdot2\bigr) +1\bigl(1\cdot(-2)-(-\lambda)\cdot2\bigr).
Fazendo as contas, chega-se a
-\lambda^3+5\lambda^2-4\lambda =-\lambda(\lambda^2-5\lambda+4) =-\lambda(\lambda-1)(\lambda-4).

Passo 3

As raízes do polinômio característico são
\lambda_1=0,\quad \lambda_2=1,\quad \lambda_3=4.
Como são três autovalores distintos, A é diagonalizável.

Passo 4

Agora achamos um autovetor para cada valor de [\lambda).
Para \lambda=0, resolvemos Av=0. O sistema é
\begin{cases} 2x+2y+z=0,\\\ x+z=0,\\\\ 2x-2y+3z=0. \end{cases}
Da segunda equação vem x=-z\]. Substituindo na primeira dá \[2y=z. Logo um autovetor é
v_1=(-2,\,1,\,2)^\mathsf{T}.
Para \lambda=1, resolvemos (A-I)v=0. O sistema é
\begin{cases} x+2y+z=0,\\\ x-y+z=0,\\\\ 2x-2y+2z=0, \end{cases}
que leva a y=0\] e \[x=-z. Tomando z=1, um autovetor é
v_2=(-1,\,0,\,1)^\mathsf{T}.
Para \lambda=4, resolvemos (A-4I)v=0. O sistema é
\begin{cases} -2x+2y+z=0,\\\ x-4y+z=0,\\\\ 2x-2y-z=0, \end{cases}
que dá x=2y\] e \(z=2y. Tomando y=1, um autovetor é
v_3=(2,\,1,\,2)^\mathsf{T}.

Passo 5

Os vetores v_1,v_2,v_3 são linearmente independentes (pois vêm de autovalores distintos). Montamos
P=\bigl[v_1\;v_2\;v_3\bigr] =\begin{pmatrix} -2 & -1 & 2\\\\ 1 & 0 & 1\\\\ 2 & 1 & 2 \end{pmatrix},
e a matriz diagonal
D=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}.
Então temos a diagonalização
A = P\,D\,P^{-1}.

Resposta

Pode-se diagonalizar A. Uma escolha conveniente é
P=\begin{pmatrix} -2 & -1 & 2\\\\ 1 & 0 & 1\\\\ 2 & 1 & 2 \end{pmatrix}, \qquad D=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix},
com
A = P\,D\,P^{-1}.

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