Seja P: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} a transformação linear de projeção de um vetor no plano \Pi: x+y+z=0.
(a) Determine uma base ordenada \beta de \mathbb{R}^{3}, tal que :
[P]_{\beta}=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)
(b) Determine P(x, y, z)
(c) P é injetora ? Sobrejetora ? Justifique.

Passo 1

O enunciado define P:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 como a projeção ortogonal de um vetor qualquer no plano
\Pi: x+y+z=0.
Precisamos de três coisas:
  1. Uma base \beta que diagonalize P em \mathrm{diag}(1,1,0).
  2. A fórmula explícita de P(x,y,z).
  3. Verificar se P é injetora e/ou sobrejetora.

Passo 2

Escolhemos dois vetores que formem uma base de \Pi e um vetor normal a \Pi.
v_1 = (1,-1,0),\quad v_2 = (1,1,-2),
verificamos
1 - 1 + 0 = 0,\quad 1 + 1 -2 = 0,
logo v_1,v_2\in\Pi. Tomamos também o vetor normal
v_3 = n = (1,1,1),
pois n\cdot(x,y,z)=x+y+z. Em seguida, como P é projeção ortogonal em \Pi, vale
P(v_1)=v_1,\quad P(v_2)=v_2,\quad P(v_3)=0.
Logo, na base ordenada
\beta = \{v_1,v_2,v_3\}
temos
[P]_{\beta} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 3

Para qualquer v=(x,y,z), a projeção ortogonal em \Pi é
P(v) \;=\; v - \frac{v\cdot n}{n\cdot n}\,n \;=\; (x,y,z) \;-\; \frac{x+y+z}{1^2+1^2+1^2}\,(1,1,1).
Como n\cdot n=3, fica
P(x,y,z) =\Bigl(x-\tfrac{x+y+z}{3},\;y-\tfrac{x+y+z}{3},\;z-\tfrac{x+y+z}{3}\Bigr).
Em forma mais simétrica:
P(x,y,z) =\Bigl(\tfrac{2x-y-z}{3},\;\tfrac{-x+2y-z}{3},\;\tfrac{-x-y+2z}{3}\Bigr).

Passo 4

O núcleo de P é \ker P=\mathrm{span}\{n\}, de dimensão 1, logo P não é injetora. A imagem de P é exatamente o plano \Pi, de dimensão 2, logo P não é sobrejetora em \mathbb{R}^3.

Resposta

(a) Uma escolha conveniente é
\beta = \bigl\{(1,-1,0),\,(1,1,-2),\,(1,1,1)\bigr\},
pois neste sistema
[P]_{\beta} =\begin{pmatrix} 1&0&0\\\\ 0&1&0\\\\ 0&0&0 \end{pmatrix}.
(b)
P(x,y,z) =\Bigl(x-\tfrac{x+y+z}{3},\;y-\tfrac{x+y+z}{3},\;z-\tfrac{x+y+z}{3}\Bigr),
ou equivalentemente
P(x,y,z) =\Bigl(\tfrac{2x-y-z}{3},\;\tfrac{-x+2y-z}{3},\;\tfrac{-x-y+2z}{3}\Bigr).
(c) P não é injetora (pois \ker P\neq\{0\}) e não é sobrejetora em \mathbb{R}^3 (pois \mathrm{Im}\,P=\Pi tem dimensão 2).

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