Considere a matriz
A=\left(\begin{array}{ccc} 2 & 0 & -1 \\\\ 1 & 3 & 1 \\\\ 0 & 0 & 2 \end{array}\right)
(a) Determine todos os autovalores de A.
(b) Determine os autoespaço de A.
(c) A é diagonalizável? Justifique.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix} 2 & 0 & -1\\\\ 1 & 3 & 1\\\\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}
e pede:
– (a) os autovalores de A;
– (b) os autoespaços (geometricamente, os núcleos de A - \lambda I);
– (c) concluir se A é diagonalizável.
Para isso, vamos usar o polinômio característico \det(A-\lambda I) e depois resolver sistemas lineares para cada \lambda.

Passo 2

Calculemos o polinômio característico. Como A é triangular superior,
\det(A-\lambda I) =(2-\lambda)\,(3-\lambda)\,(2-\lambda).
Logo os autovalores são \lambda_1=2 (com multiplicidade algébrica 2) e \lambda_2=3 (multiplicidade algébrica 1).

Passo 3

Para \lambda=2\), resolvemos \((A-2I)x=0\). \[A-2I=\begin{pmatrix} 0 & 0 & -1\\\\ 1 & 1 & 1\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad \begin{cases} -\,x_3=0,\\\ x_1 + x_2 + x_3=0,\\\\ 0=0. \end{cases}
Da primeira equação vem x_3=0\]. Substituindo na segunda, \(x_1 + x_2=0, ou seja x_1=-x_2.
Tomando parâmetro t=x_2, um vetor genérico do autoespaço é
x = \bigl(-t,\;t,\;0\bigr) = t\,(-1,1,0).
Portanto o autoespaço associado a \lambda=2 é
E_2 = \ker(A-2I) = \Span\{(-1,1,0)\},
de dimensão geométrica 1.

Passo 4

Para \lambda=3\), resolvemos \((A-3I)x=0\). \[A-3I=\begin{pmatrix} -1 & 0 & -1\\\\ 1 & 0 & 1\\\\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}, \quad \begin{cases} -\,x_1 - x_3=0,\\\ x_1 + x_3=0,\\\\ -\,x_3=0. \end{cases}
Da terceira equação x_3=0\]. Então \(x_1=0 e sobra x_2 livre. Tomando s=x_2, temos
x=(0,s,0) = s\,(0,1,0).
Assim
E_3 = \ker(A-3I) = \Span\{(0,1,0)\},
de dimensão geométrica 1.

Passo 5

Para A ser diagonalizável, a soma das dimensões dos autoespaços deve ser igual a 3 (a ordem da matriz). Aqui \dim E_2 = 1 e \dim E_3 = 1, soma 1+1=2<3.
Além disso, o autovalor \lambda=2 tem multiplicidade algébrica 2, mas seu espaço próprio tem dimensão geométrica apenas 1.

Resposta

(a) Os autovalores são \;2 (dupla) e \;3.
(b)
E_2 = \Span\{(-1,1,0)\}, \quad E_3 = \Span\{(0,1,0)\}.
(c) A não é diagonalizável, pois a soma das dimensões dos autoespaços é 2<3 e a multiplicidade geométrica de \lambda=2 é menor que sua multiplicidade algébrica.

Exercícios relacionados