A 2.4 -in-diameter smooth ball rotating at 500 rpm is dropped in a water stream at 60^circ F flowing at 4 ft / s. Determine the lift and the drag force acting on the ball when it is first dropped in the water.

Passo 1

Beleza, aqui o enunciado é: uma esfera lisa de 2,4 in de diâmetro gira a 500 rpm e é solta num escoamento de água a 4 ft/s (a 60 °F). Queremos achar a força de arrasto (drag) e a força de sustentação (lift) na hora em que ela entra na água.
Conteúdo: mecânica dos fluidos – cálculo de Reynolds, coeficiente de arrasto e de sustentação (efeito Magnus). Vamos precisar de:
  • Conversão de unidades (diâmetro para ft, rpm para rad/s, densidade e viscosidade da água a 60 °F).
  • Cálculo de número de Reynolds e escolha de D = tfrac12,rho,V^2,A,CD, L = tfrac12,rho,V^2,A,CL.
  • Cálculo da razão de giro (spin ratio) e escolha de .
  • Fórmulas de força:

Passo 2

Converter dados e achar propriedades da água a 60 °F:
  • Diâmetro omega = 500;rpmtimes2pi60 = 8,333;s^-1times2pi = 52,36;rad/s
  • Raio
  • Velocidade
  • Geração angular:
  • Densidade da água: .
    Para usar na fórmula de força em lbf, convertemos para slug/ft³:
  • Viscosidade dinâmica

Passo 3

Calcular o número de Reynolds na esfera:
Re = rho,V,Dmu = 1,94cdot4cdot0,202,3times10^-5 approx2,13times10^6
Para , a esfera lisa tem (tabela ou gráfico de esfera lisa).

Passo 4

Calcular a razão de giro (spin ratio) e Uspin = omega,R = 52,36;rad/stimes0,10;ft = 5,236;ft/s :
  • Velocidade de superfície por giro: S = UspinV = 5,2364 approx1,31
  • Spin ratio
No regime de Reynolds alto e spin ratio da ordem de 1, tabelas/curvas de efeito Magnus indicam .

Passo 5

Área de projeção da esfera:
A = pi D^24 = pi,(0,20)^24 = picdot0,01 = 0,0314;ft^2
Pressão dinâmica
q = tfrac12,rho,V^2 = tfrac12cdot1,94cdot(4)^2 = 0,97cdot16 = 15,52;lbf/ft^2
Agora as forças:
D = q,A,CD = 15,52cdot0,0314cdot0,20 approx0,097;lbf,
L = q,A,CL = 15,52cdot0,0314cdot1,10 approx0,54;lbf

Resposta

A força de arrasto é aproximadamente e a força de sustentação (lift) é cerca de .

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