O diâmetro de determinado furo obtido por um processo de usinagem é especificado em (10,40 \pm 0,20) \mathrm{mm}. Com o objetivo de controlar estas especificações, um gerente de produção tomou 20 amostras com cinco elementos cada. As médias e as amplitudes de cada amostra foram calculados conforme a Tabela abaixo. Esboce os gráficos de controle da média e amplitude e verifique se o processo se encontra ou não sob controle. Utilize as informações do Apêndice VI abaixo, para a realização dos cálculos ( 4 pontos).
Amostra 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Média 10,42 10,50 10,48 10,39 10,44 10,40 10,37 10,41 10,39 10,37
Amplitude 0,22 0,19 0,24 0,21 0,18 0,15 0,19 0,20 0,22 0,32
Amostra 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Média 10,54 10,48 10,35 10,44 10,58 10,30 10,32 10,33 10,40 10,42
Amplitude 0,33 0,29 0,22 0,18 0,19 0,20 0,20 0,14 0,22 0,23
Apêndice VI Fatores para Construção de Gráficos de Controle para Variáveis
Gráfico para Médias Gráficos para Desvios Padrão Gráficos para Amplitudes
Observações na Fatores para Limites de Controle Fatores para Linha Central Fatores para Limites de Controle Fatores para Linha Central Fatores para Limites de Controle
Amostra, n A A_{2} \boldsymbol{A}_{\mathbf{3}} c_{4} 1 / c_{4} \boldsymbol{B}_{\mathbf{3}} B_{4} \boldsymbol{B}_{5} B_{6} d_{2} 1 / d_{2} d_{3} D_{1} D_{2} D_{3} \boldsymbol{D}_{\mathbf{4}}
2 2,121 1,880 2,659 0,7979 1,2533 0 3,267 0 2,606 1,128 0,8865 0,853 0 3,686 0 3,267
3 1,732 1,023 1,954 0,8862 1,1284 0 2,568 0 2,276 1,693 0,5907 0,888 0 4,358 0 2,575
4 1,500 0,729 1,628 0,9213 1,0854 0 2,266 0 2,088 2,059 0,4857 0,880 0 4,698 0 2,282
5 1,342 0,577 1,427 0,9400 1,0638 0 2,089 0 1,964 2,326 0,4299 0,864 0 4,918 0 2,115
6 1,225 0,483 1,287 0,9515 1,0510 0,030 1,970 0,029 1,874 2,534 0,3946 0,848 0 5,078 0 2,004
7 1,134 0,419 1,182 0,9594 1,0423 0,118 1,882 0,113 1,806 2,704 0,3698 0,833 0,204 5,204 0,076 1,924
8 1,061 0,373 1,099 0,9650 1,0363 0,185 1,815 0,179 1,751 2,847 0,3512 0,820 0.388 5,306 0,136 1,864
9 1,000 0,337 1,032 0,9693 1,0317 0,239 1,761 0,232 1,707 2,970 0,3367 0,808 0,547 5,393 0,184 1,816
10 0,949 0,308 0,975 0,9727 1,0281 0,284 1,716 0,276 1,669 3,078 0,3249 0,797 0,687 5,469 0,223 1,777
11 0,905 0,285 0,927 0,9754 1,0252 0,321 1,679 0,313 1,637 3,173 0,3152 0,787 0,811 5,535 0,256 1,744
12 0,866 0,266 0,886 0,9776 1,0229 0,354 1,646 0,346 1,610 3,258 0,3069 0,778 0,922 5,594 0,283 1,717
13 0,832 0,249 0,850 0,9794 1,0210 0,382 1,618 0,374 1,585 3,336 0,2998 0,770 1,025 5,647 0,307 1,693
14. 0,802 0,235 0,817 0,9810 1,0194 0,406 1,594 0,399 1,563 3,407 0,2935 0,763 1,118 5,696 0,328 1,672
15 0,775 0,223 0,789 0,9823 1,0180 0,428 1,572 0,421 1,544 3,472 0,2880 0,756 1,203 5,741 0,347 1,653
16 0,750 0,212 0,763 0,9835 1,0168 0,448 1,552 0,440 1,526 3,532 0,2831 0,750 1,282 5,782 0,363 1,637
17 0,728 0,203 0,739 0,9845 1,0157 0,466 1,534 0,458 1,511 3,588 0,2787 0,744 1,356 5,820 0,378 1,622
18 0,707 0,194 0,718 0,9854 1,0148 0,482 1,518 0,475 1,496 3,640 0,2747 0,739 1,424 5,856 0,391 1,608
19 0,688 0,187 0,698 0,9862 1,0140 0,497 1,503 0,490 1,483 3,689 0,2711 0,734 1,487 5,891 0,403 1,597
20 0,671 0,180 0,680 0,9869 1,0133 0,510 1,490 0,504 1,470 3,735 0,2677 0,729 1,549 5,921 0,415 1,585
21 0,655 0,173 0,663 0,9876 1,0126 0,523 1,477 0,516 1,459 3,778 0,2647 0,724 1,605 5,951 0,425 1,575
22 0,640 0,167 0,647 0,9882 1,0119 0,534 1,466 0,528 1,448 3,819 0,2618 0,720 1,659 5,979 0,434 1,566
23 0,626 0,162 0,633 0,9887 1,0114 0,545 1,455 0,539 1,438 3,858 0,2592 0,716 1,710 6,006 0,443 1,557
24 0,612 0,157 0,619 0,9892 1,0109 0,555 1,445 0,549 1,429 3,895 0,2567 0,712 1,759 6,031 0,451 1,548
25 0,600 0,153 0,606 0,9896 1,0105 0,565 1,435 0,559 1,420 3,931 0,2544 0,708 1,806 6,056 0,459 1.541

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Esboçar os gráficos de controle da média ( \bar{x}) e da amplitude ( R).
  • Verificar se o processo se encontra sob controle estatístico.
Informações relevantes dadas no enunciado (pegar estes dados da tabela fornecida):
  • Número de amostras: k=20.
  • Tamanho de cada amostra: n=5.
  • Médias das 20 amostras (em mm):
    \,10,42,\;10,50,\;10,48,\;10,39,\;10,44,\;10,40,\;10,37,\;10,41,\;10,39,\;10,37,\;10,54,\;10,48,\;10,35,\;10,44,\;10,58,\;10,30,\;10,32,\;10,33,\;10,40,\;10,42\,.
  • Amplitudes ( R) das 20 amostras (em mm):
    \,0,22,\;0,19,\;0,24,\;0,21,\;0,18,\;0,15,\;0,19,\;0,20,\;0,22,\;0,32,\;0,33,\;0,29,\;0,22,\;0,18,\;0,19,\;0,20,\;0,20,\;0,14,\;0,22,\;0,23\,.
  • Fatores (do Apêndice VI) para n=5:
    \,A_2=0,577,\;D_3=0,\;D_4=2,115\,.
    Observação: os fatores acima são os que usaremos nas fórmulas padrão de carta \bar{x} R.

Passo 2

Calcular a média geral das médias amostrais (a linha central do gráfico de médias), chamada de \bar{\bar{x}}.
Somando as 20 médias (peguei os valores da tabela):
\sum_{i=1}^{20}\bar{x}_i = 208,33.
Portanto
\bar{\bar{x}}=\frac{1}{20}\sum_{i=1}^{20}\bar{x}_i=\frac{208,33}{20}=10,4165\\ \mathrm{mm}.
Explicação didática rápida: \bar{\bar{x}} é simplesmente a média das médias amostrais — serve como estimativa do valor médio do processo. Aqui somei todas as médias e dividi pelo número de amostras.

Passo 3

Calcular a média das amplitudes amostrais \bar{R} (a linha central do gráfico de amplitude).
Somando as 20 amplitudes (peguei os valores da tabela):
\sum_{i=1}^{20} R_i = 4,32\\ \mathrm{mm}.
Logo
\bar{R}=\frac{1}{20}\sum_{i=1}^{20}R_i=\frac{4,32}{20}=0,216\\ \mathrm{mm}.
Explicação didática rápida: \bar{R} é a média das amplitudes; usamos a amplitude (máximo–mínimo) dentro de cada amostra como estimador simples da variabilidade dentro das amostras.

Passo 4

Fórmulas para os limites de controle (explicadas):
  • Para o gráfico das médias ( \bar{x}):
    \text{CL}_{\bar{x}}=\bar{\bar{x}}, \qquad \text{UCL}_{\bar{x}}=\bar{\bar{x}}+A_2\bar{R}, \qquad \text{LCL}_{\bar{x}}=\bar{\bar{x}}-A_2\bar{R}.
    Aqui \text{CL}_{\bar{x}} é a linha central (estimativa do valor médio do processo), \text{UCL}_{\bar{x}} e \text{LCL}_{\bar{x}} são os limites superior e inferior de controle calculados com o fator A_2 apropriado para n.
  • Para o gráfico das amplitudes ( R):
    \text{CL}_R=\bar{R}, \qquad \text{UCL}_R=D_4\bar{R}, \qquad \text{LCL}_R=D_3\bar{R}.
    Aqui \text{CL}_R é a média das amplitudes; D_3 e D_4 fornecem os multiplicadores para limites de controle do gráfico R.

Passo 5

Calcular numericamente os limites do gráfico de médias usando A_2=0,577 e \bar{R}=0,216.
Primeiro o termo de meia largura:
A_2\bar{R}=0,577\times 0,216=0,124632\\ (\text{aprox. }0,1246).
Agora os limites:
\text{CL}_{\bar{x}}=\bar{\bar{x}}=10,4165\\ \mathrm{mm},
\text{UCL}_{\bar{x}}=10,4165+0,124632=10,541132\\ \mathrm{mm}\\ (\text{aprox. }10,541\\ \mathrm{mm}),
\text{LCL}_{\bar{x}}=10,4165-0,124632=10,291868\\ \mathrm{mm}\\ (\text{aprox. }10,292\\ \mathrm{mm}).
Explicação didática: interpretamos que qualquer média amostral fora do intervalo [\text{LCL}_{\bar{x}},\text{UCL}_{\bar{x}}] indica uma possível causa especial (sinal de fora de controle) no processo médio.

Passo 6

Verificar cada média amostral em relação aos limites \text{LCL}_{\bar{x}} e \text{UCL}_{\bar{x}}.
As médias (peguei da tabela) comparadas com os limites [10,291868,\;10,541132]:
  • Todas as médias estão dentro desses limites, exceto a amostra 15 que tem \bar{x}_{15}=10,58\\ \mathrm{mm} e portanto \bar{x}_{15}>\text{UCL}_{\bar{x}}(=10,541132).
  • Observação: algumas médias (por exemplo \bar{x}_{11}=10,54) estão muito próximas do limite superior, mas apenas \bar{x}_{15}=10,58 ultrapassa claramente o UCL.
Conclusão parcial: o gráfico de médias apresenta um ponto fora de controle (amostra 15).

Passo 7

Calcular numericamente os limites do gráfico de amplitudes usando D_3=0, D_4=2,115 e \bar{R}=0,216.
\text{CL}_R=\bar{R}=0,216\\ \mathrm{mm},
\text{UCL}_R=D_4\bar{R}=2,115\times 0,216=0,45684\\ \mathrm{mm}\\ (\text{aprox. }0,457\\ \mathrm{mm}),
\text{LCL}_R=D_3\bar{R}=0\times 0,216=0\\ \mathrm{mm}.
Explicação didática: o gráfico R controla a variabilidade do processo. Se algum R_i ultrapassa \text{UCL}_R ou ficar abaixo de \text{LCL}_R, há indicação de sinal fora de controle na variabilidade.

Passo 8

Verificar cada amplitude amostral em relação aos limites [0,\;0,45684].
As amplitudes (peguei da tabela): o maior valor observado é R_{11}=0,33\\ \mathrm{mm} e há também R_{10}=0,32\\ \mathrm{mm}. Todos os R_i satisfazem
0 \le R_i \le 0,33 < 0,45684,
ou seja, nenhuma amplitude ultrapassa o \text{UCL}_R e nenhuma é negativa (obviamente). Portanto o gráfico R está sob controle — não há sinais de variabilidade fora do esperado.

Passo 9

Interpretação final e recomendações didáticas rápidas:
  • Resultado combinado: o gráfico R indica que a variabilidade do processo está sob controle, mas o gráfico \bar{x} tem uma amostra (a amostra 15 com \bar{x}_{15}=10,58\\ \mathrm{mm}) fora do controle.
  • Conclusão lógica: o processo não está completamente sob controle (há um sinal de causa especial que afetou a média em uma ocasião). Mesmo com variabilidade estável, um deslocamento imediato da média demanda ação.
  • Ação recomendada na prova / na prática: investigar a amostra 15 (verificar máquina, ajuste, operador, material, medição) e, se necessário, eliminar a causa especial antes de assumir que o processo voltou ao controle. Também é útil reavaliar as amostras vizinhas para ver tendência ou agrupamento.

Resposta

Gráfico da média ( \bar{x}): linha central \bar{\bar{x}}=10,4165\\ \mathrm{mm}; \text{UCL}_{\bar{x}}=10,5411\\ \mathrm{mm}; \text{LCL}_{\bar{x}}=10,2919\\ \mathrm{mm}. Há uma amostra fora de controle: amostra 15 ( \bar{x}_{15}=10,58\\ \mathrm{mm}).
Gráfico da amplitude ( R): linha central \bar{R}=0,216\\ \mathrm{mm}; \text{UCL}_R=0,4568\\ \mathrm{mm}; \text{LCL}_R=0\\ \mathrm{mm}. Todas as amplitudes estão dentro dos limites ( R sob controle).
Conclusão: o processo NÃO está totalmente sob controle (causa especial detectada na média — amostra 15).

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