O diâmetro médio de grãos de uma liga de alumínio é de 14 mu m, com uma resistência de 185 MPa . A mesma liga com um diâmetro médio de grãos de 50 mu m tem uma resistência de 140 MPa . Determine as constantes para a equação de Hall-Petch para esta liga.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala da liga de alumínio cuja resistência mecânica muda conforme o tamanho médio dos grãos. A gente tá vendo a equação de Hall–Petch, que diz que a resistência σ de um metal tem a forma
sigma = sigma0 + k,d^-1/2,
onde
  • σ é a resistência (em MPa),
  • σ₀ é a resistência intrínseca da matriz (em MPa),
  • k é a constante de fortalecimento por granulação (em MPa·μm^{1/2}),
  • d é o diâmetro médio dos grãos (em μm).
O que temos de dados:
  1. Quando , σ = 185 MPa.
  2. Quando , σ = 140 MPa.
O que precisamos fazer: montar duas equações com esses pares de valores e resolver para σ₀ e k.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a equação de Hall–Petch para cada caso:
Para 185 = sigma0 + k,(14)^-tfrac12 Longrightarrow 185 = sigma0 + kraiz14 :
140 = sigma0 + k,(50)^-tfrac12 Longrightarrow 140 = sigma0 + kraiz50
Para :
Aqui a teoria que usamos é simples: colocamos cada par (σ,d) na fórmula e temos duas equações lineares em σ₀ e k.

Passo 3

Agora vamos eliminar σ₀ para achar k. Subtrai a segunda equação da primeira:
185 - 140 = l(sigma0 + kraiz14r) - l(sigma0 + kraiz50r)
O σ₀ some, e sobra:
45 = kl(1raiz14 - 1raiz50r)
Aí basta calcular os valores:
1raiz14approx 0,2673, 1raiz50approx 0,1414,
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45 = k,(0,2673 - 0,1414) = k,(0,1259) Longrightarrow k = 450,1259approx 357,6

Passo 4

Com k em mãos, voltamos em qualquer das equações para achar σ₀. Por exemplo, na de 185 = sigma0 + 357,6raiz14 Longrightarrow sigma0 = 185 - 357,6times0,2673 approx 185 - 95,6 = 89,4 MPa :

Resposta

σ₀ ≈ 89,4 MPa
k ≈ 357,6 MPa·μm^{1/2}

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