O diâmetro médio de grãos de uma liga de alumínio é de
, com uma resistência de 185 MPa . A mesma liga com um diâmetro médio de grãos de
tem uma resistência de 140 MPa . Determine as constantes para a equação de Hall-Petch para esta liga.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala da liga de alumínio cuja resistência mecânica muda conforme o tamanho médio dos grãos. A gente tá vendo a equação de Hall–Petch, que diz que a resistência σ de um metal tem a forma
onde
- σ é a resistência (em MPa),
- σ₀ é a resistência intrínseca da matriz (em MPa),
- k é a constante de fortalecimento por granulação (em MPa·μm^{1/2}),
- d é o diâmetro médio dos grãos (em μm).
O que temos de dados:
- Quando
, σ = 185 MPa. - Quando
, σ = 140 MPa.
O que precisamos fazer: montar duas equações com esses pares de valores e resolver para σ₀ e k.
Passo 2
Primeiro, escrevemos a equação de Hall–Petch para cada caso:
Para
:
Para
:
Aqui a teoria que usamos é simples: colocamos cada par (σ,d) na fórmula e temos duas equações lineares em σ₀ e k.
Passo 3
Agora vamos eliminar σ₀ para achar k. Subtrai a segunda equação da primeira:
O σ₀ some, e sobra:
Aí basta calcular os valores:
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Passo 4
Com k em mãos, voltamos em qualquer das equações para achar σ₀. Por exemplo, na de
:
Resposta
σ₀ ≈ 89,4 MPa
k ≈ 357,6 MPa·μm^{1/2}
k ≈ 357,6 MPa·μm^{1/2}