O diâmetro médio de grãos de uma liga de alumínio é de 14 mu m, com uma resistência de 185 MPa . A mesma liga com um diâmetro médio de grãos de 50 mu m tem uma resistência de 140 MPa . Quanto mais se deve reduzir o tamanho de grão, se você deseja uma resistência de 220 MPa ?

Passo 1

Então, o exercício nos dá dois casos de uma liga de alumínio com diferentes tamanhos médios de grão e suas resistências a escoamento:
  • para d=14 mum, sigma=185 MPa
  • para d=50 mum, sigma=140 MPa
Queremos saber até que diâmetro médio de grão devemos chegar para ter sigma=220 MPa.
O conteúdo envolvido é a relação de Hall–Petch, que diz que a resistência sigma varia com o inverso da raiz quadrada do tamanho de grão d segundo
sigma = sigma0 + k,d^-1/2
Para resolver, vamos:
  1. usar os dois pontos dados pra achar sigma0 e k,
  2. depois aplicar esses valores pra encontrar o d que dá sigma=220 MPa.

Passo 2

Aplicando Hall–Petch aos dois pontos:
185 = sigma0 + k,/,raiz14, 140 = sigma0 + k,/,raiz50
Aqui raiz14approx3,74 e raiz50approx7,07. Vamos usar essas equações pra descobrir k e sigma0.

Passo 3

Subtraindo a segunda da primeira:
185 - 140 = kl(tfrac1raiz14 - tfrac1raiz50r) ;;Longrightarrow;; 45 = kl(0,267 - 0,141r) ;;Longrightarrow;; k approx 450,126 approx 357,5 MPa,mum^1/2
Agora, para sigma0, uso qualquer uma das duas
sigma0 = 140 - k,/,raiz50 = 140 - 357,5times0,141 approx 89,5 MPa

Passo 4

Por fim, imponho sigma=220 MPa na fórmula de Hall–Petch:
220 = 89,5 + 357,5raizd ;;Longrightarrow;; 220 - 89,5 = 357,5raizd ;;Longrightarrow;; raizd = 357,5130,5approx2,74 ;;Longrightarrow;; d approx (2,74)^2 approx 7,5 mum

Resposta

Para alcançar sigma=220 MPa, o diâmetro médio de grão deve ficar em torno de 7,5 mum.
Ou seja, partindo dos 14 mum iniciais, é preciso reduzir mais cerca de 6,5 mum.

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