O diâmetro de uma tubulação que transporta água em regime permanente, varia gradualmente de 150 mm , no ponto \mathrm{A}, 6 \mathrm{~m} acima de um referencial, para 75 mm , no ponto \mathrm{B}, 3 \mathrm{~m} acima do referencial. A pressão no ponto A é p_{\mathrm{A}} e a velocidade média é V_{\mathrm{A}}. Determine:
a) A velocidade média no ponto B , \mathrm{em} \mathrm{m} / \mathrm{s}; (valor: 0,5 )
b) A pressão no ponto B , em kPa ; (valor: 0,5 )
Considere os seguintes dados:
i. Velocidade média no ponto A , \mathrm{em} \mathrm{m} / \mathrm{s} : soma dos valores dos algarismos da matrícula do aluno, dividido por 12;
ii. Dados: \mathrm{P}_{\mathrm{A}}=150,0 \mathrm{kPa}, \rho_{\text {água }}=10^{3} \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ; \mathrm{g}=9,81 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}á;
iii. Despreze as perdas de carga;

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Dados fornecidos:
    • Diâmetro no ponto A: d_A = 150\\ \mathrm{mm} = 0{,}150\\ \mathrm{m}.
    • Diâmetro no ponto B: d_B = 75\\ \mathrm{mm} = 0{,}075\\ \mathrm{m}.
    • Cota no ponto A: z_A = 6\\ \mathrm{m}.
    • Cota no ponto B: z_B = 3\\ \mathrm{m}.
    • Pressão no ponto A: p_A = 150{,}0\\ \mathrm{kPa}.
    • Densidade da água: \rho = 10^{3}\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
    • Aceleração da gravidade: g = 9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}.
    • Desprezar perdas de carga (fluxo estacionário, incompressível).
    • Velocidade média no ponto A: indicada pelo enunciado como “soma dos dígitos da matrícula dividida por 12”. Vou chamar a soma dos dígitos da matrícula de S. Portanto V_A = \dfrac{S}{12}\\ \mathrm{m/s},onde S é um número inteiro que depende da matrícula (não fornecido).
  • O enunciado pede:
    (a) a velocidade média em B, V_B, em \mathrm{m/s};
    (b) a pressão em B, p_B, em \mathrm{kPa}.
Observação: como o enunciado determinou V_A a partir da soma dos dígitos da matrícula e essa soma S não foi informada, as respostas finais serão apresentadas em função de S (ou em função de V_A). Quando houver S disponível, basta substituir para obter os valores numéricos.

Passo 2

Conservação da massa (equação da continuidade) para escoamento incompressível e seção circular:
A_A V_A = A_B V_B,
onde A é a área da seção e V a velocidade média. A área de um círculo de diâmetro d é
A = \dfrac{\pi d^{2}}{4}.
Assim,
V_B = \dfrac{A_A}{A_B} \, V_A = \dfrac{d_A^{2}}{d_B^{2}} \, V_A.

Passo 3

Calcular a razão das áreas usando os diâmetros fornecidos. Com d_A = 0{,}150\\ \mathrm{m} e d_B = 0{,}075\\ \mathrm{m},
\frac{d_A}{d_B}=\frac{0{,}150}{0{,}075}=2,
portanto
\frac{d_A^{2}}{d_B^{2}}=(2)^{2}=4.
Logo, pela continuidade:
V_B = 4\,V_A.
Substituindo V_A=\dfrac{S}{12} obtemos
V_B = 4\cdot \dfrac{S}{12}=\dfrac{S}{3}\\ \mathrm{m/s}.
(Se preferir em função de V_A: V_B=4V_A.)

Passo 4

Aplicar a equação de Bernoulli entre A e B, para escoamento ideal (sem perdas), em forma energética:
\dfrac{p_A}{\rho g}+\dfrac{V_A^{2}}{2g}+z_A \;=\; \dfrac{p_B}{\rho g}+\dfrac{V_B^{2}}{2g}+z_B.
Isolando p_B,
p_B = p_A + \tfrac{1}{2}\rho\left(V_A^{2}-V_B^{2}\right) + \rho g (z_A - z_B).
Esta é a forma prática: a pressão em B é a pressão em A corrigida pelas diferenças de energia cinética e de potencial.

Passo 5

Substituir V_B=4V_A na expressão de p_B. Temos V_B^{2}=16V_A^{2}, então
V_A^{2}-V_B^{2}=V_A^{2}-16V_A^{2}=-15V_A^{2}.
Substituindo:
p_B = p_A + \tfrac{1}{2}\rho(-15V_A^{2}) + \rho g (z_A-z_B).
Simplificando o termo cinético:
p_B = p_A - \tfrac{15}{2}\rho V_A^{2} + \rho g (z_A-z_B).

Passo 6

Agora substituir os valores numéricos conhecidos: p_A=150{,}0\\ \mathrm{kPa}=150\,000\\ \mathrm{Pa}, \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}, g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}, z_A-z_B=6-3=3\\ \mathrm{m}.
Calcule os termos:
\tfrac{15}{2}\rho = 7{,}5\times 10^{3}\quad(\mathrm{coeficiente\\ em\\ Pa/(m^2/s^2)}).
\rho g (z_A-z_B)=1000\cdot 9{,}81\cdot 3 = 29\,430\\ \mathrm{Pa}.
Logo em Pa:
p_B = 150\,000 - 7{,}500\,V_A^{2} + 29\,430 = 179\,430 - 7{,}500\,V_A^{2}\\ \mathrm{Pa}.
Convertendo para kPa (dividindo por 1000):
p_B = 179{,}43 - 7{,}5\,V_A^{2}\\ \mathrm{kPa}.

Passo 7

Expressar p_B também em função de S. Lembrando V_A=\dfrac{S}{12}, então V_A^{2}=\dfrac{S^{2}}{144}. Substituindo em p_B (em kPa):
p_B = 179{,}43 - 7{,}5\cdot \dfrac{S^{2}}{144} = 179{,}43 - \dfrac{7{,}5}{144}\,S^{2}.
Simplificar o coeficiente: \dfrac{7{,}5}{144}=\dfrac{5}{96}. Assim
p_B = 179{,}43 - \dfrac{5}{96}\,S^{2}\\ \mathrm{kPa}.
E já tínhamos V_B=\dfrac{S}{3}\\ \mathrm{m/s}.
Exemplo ilustrativo: se a soma dos dígitos da matrícula fosse S=6, então V_A=6/12=0{,}5\\ \mathrm{m/s}, V_B=S/3=2{,}0\\ \mathrm{m/s} e
p_B = 179{,}43 - \dfrac{5}{96}\cdot 6^{2} =179{,}43 - \dfrac{5}{96}\cdot 36 =179{,}43 - 1{,}875 =177{,}555\\ \mathrm{kPa}.
(Isto é só um exemplo; substituir o S real dá o resultado do seu caso.)

Resposta

V_B = 4\,V_A = \dfrac{S}{3}\\ \mathrm{m/s}\n
p_B = 179{,}43 - 7{,}5\,V_A^{2}\\ \mathrm{kPa} = 179{,}43 - \dfrac{5}{96}\,S^{2}\\ \mathrm{kPa}

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