Os diâmetros de uma peça são normalmente distribuidos com média 1,0 polegada e desvio padrão 0,03 polegadas. As especificações exigem diâmetro de 1,0 \pm 0,05 polegadas.
a) Que percentagem estará dentro dos limites de especificação?
b) Se uma amostra de 9 peças é tomada, qual é a probabilidade de que o diâmetro médio da amostra esteja dentro dos limites de especificação?

Passo 1

O enunciado diz que os diâmetros X são \mathcal{N}(\mu=1{,}0,\;\sigma=0{,}03) e que as especificações são
0{,}95 \le X \le 1{,}05.
a) Pede a percentagem de peças com diâmetro dentro desses limites, isto é
P(0{,}95 \le X \le 1{,}05).
b) Para uma amostra de tamanho n=9, pede P(0{,}95 \le \overline X \le 1{,}05), sabendo que \overline X\sim \mathcal{N}(1{,}0,\;\sigma/\sqrt n).

Passo 2

a) Padronizamos X. Temos
z_1 = \frac{0{,}95 - 1{,}0}{0{,}03} = -1{,}6667,\quad z_2 = \frac{1{,}05 - 1{,}0}{0{,}03} = 1{,}6667.
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P(0{,}95 \le X \le 1{,}05) = \Phi(1{,}6667) - \Phi(-1{,}6667) = 2\,\Phi(1{,}6667) - 1.
Usando tabela normal, \Phi(1{,}67)\approx 0{,}9525. Então
P \approx 2\cdot0{,}9525 - 1 = 0{,}9050.

Passo 3

b) Para a média amostral \overline X, o desvio padrão é
\sigma_{\overline X} = \frac{0{,}03}{\sqrt{9}} = 0{,}01.
Padronizando os limites,
z_1' = \frac{0{,}95-1{,}0}{0{,}01} = -5,\quad z_2' = \frac{1{,}05-1{,}0}{0{,}01} = 5.
Assim
P(0{,}95 \le \overline X \le 1{,}05) = \Phi(5) - \Phi(-5) = 2\,\Phi(5) - 1 \approx 2\cdot1 - 1 = 1.

Resposta

a) 90{,}50\%
b) \approx 100{,}00\%

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