Questāo 2) ( 2,5 pontos) Uma escada com 3 metros de comprimento está apoiada contra uma parede vertical. Se a base da escada desliza afastando-se da parede a uma velocidade de 0.6 \mathrm{m} / \mathrm{s}, qual rápido está variando o ângulo entre o topo da escada e a parede quando o ângulo é \pi / 4 radianos?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa bem específica:
  • Escada de comprimento 3\\ \mathrm{m} (comprimento constante).
  • A base da escada afasta-se da parede com velocidade \dfrac{dx}{dt}=0,6\\ \mathrm{m/s}. (Aqui usei x(t) para representar a distância horizontal entre a base da escada e a parede.)
  • Pede-se: quão rápido está variando o ângulo entre o topo da escada e a parede quando esse ângulo é \pi/4 radianos. Vou chamar esse ângulo de \theta(t) (ângulo entre a escada e a parede, isto é, o ângulo no topo entre a escada e a vertical).
  • Informações relevantes derivadas do enunciado que serão usadas: comprimento da escada L=3\\ \mathrm{m} (constante); relação geométrica entre x, a altura y do topo na parede, e L: x^2+y^2=L^2.

Passo 2

Escolha das variáveis e relação trigonométrica (explicação didática):
  • Definição das variáveis: x(t) = distância horizontal da base ao pé da parede; y(t) = altura do topo da escada na parede; \theta(t) = ângulo entre a escada e a parede (no topo).
  • Geometria e trigonometria: para o triângulo formado pela parede (vertical), o chão (horizontal) e a escada (hipotenusa), a função seno de \theta é definida como “cateto oposto dividido pela hipotenusa”. No nosso caso, olhando o ângulo \theta no topo (entre escada e parede), o cateto oposto é x (a base) e a hipotenusa é L. Logo:
\sin(\theta)=\frac{x}{L}.
Breve reforço: pensar no ângulo no topo ajuda — se a escada está quase vertical, x é pequeno e \sin(\theta) também é pequeno; se a escada fica mais deitada, x aumenta e \sin(\theta) aumenta. Isso confirma que a relação faz sentido intuitivo.

Passo 3

Diferenciação implícita em relação ao tempo (aula sobre regra da cadeia):
  • A equação \sin(\theta)=\dfrac{x}{L} envolve duas quantidades que variam com o tempo ( \theta(t) e x(t)). Para saber as velocidades, derivamos ambos os lados em relação a t.
  • Regra da cadeia: se g(t)=\sin(\theta(t)), então \dfrac{d}{dt}\sin(\theta(t))=\cos(\theta(t))\cdot\dfrac{d\theta}{dt}. Isto é a regra da cadeia aplicada a \sin.
  • Derivando a relação:
\frac{d}{dt}\big(\sin(\theta)\big)=\frac{d}{dt}\left(\frac{x}{L}\right).
Como L é constante, isso dá:
\cos(\theta)\,\frac{d\theta}{dt}=\frac{1}{L}\,\frac{dx}{dt}.
Expliquei passo a passo: à esquerda usei a derivada de \sin multiplicada por \dfrac{d\theta}{dt}; à direita saí \dfrac{1}{L} vezes \dfrac{dx}{dt}.

Passo 4

Isolando \dfrac{d\theta}{dt} e substituindo os valores (conta detalhada):
  • Isolando:
\frac{d\theta}{dt}=\frac{1}{L}\,\frac{dx}{dt}\cdot\frac{1}{\cos(\theta)}=\frac{\dfrac{dx}{dt}}{L\cos(\theta)}.
  • Agora substituímos L=3\\ \mathrm{m}, \dfrac{dx}{dt}=0,6\\ \mathrm{m/s} e \theta=\pi/4.
  • Primeiro calcule \cos(\pi/4). Sabemos da trigonometria básica que
\cos\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}.
  • Substituindo na fórmula:
\frac{d\theta}{dt}=\frac{0,6}{3\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}}.
Agora simplificamos passo a passo:
\frac{d\theta}{dt}=\frac{0,6}{\dfrac{3\sqrt{2}}{2}}=0,6\cdot\frac{2}{3\sqrt{2}}=\frac{1,2}{3\sqrt{2}}=\frac{0,4}{\sqrt{2}}.
Racionalizando (opcional) ou escrevendo em forma mais simples:
\frac{0,4}{\sqrt{2}}=0,2\sqrt{2}.
  • Valor numérico aproximado:
0,2\sqrt{2}\approx 0,2828\\ (\text{rad/s}).
Unidade: como \theta é um ângulo em radianos e t está em segundos, a unidade da taxa é \mathrm{rad/s}.

Passo 5

Interpretação física e dica para prova (intuição e verificação):
  • O resultado é positivo: \dfrac{d\theta}{dt}>0. Isso faz sentido: à medida que a base se afasta da parede, o ângulo entre a escada e a parede aumenta (a escada fica mais “deitada” em relação à parede), então \theta cresce.
  • Dica para a prova: ao definir \theta, seja claro se é o ângulo com a parede (aqui usamos esse) ou com o chão; a relação trigonométrica muda (por exemplo, se fosse ângulo com o chão, usaríamos \sin ou \cos diferentes) — sempre desenhe rapidamente o triângulo e identifique cateto oposto/adjacente antes de derivar.

Resposta

\displaystyle \frac{d\theta}{dt}=0,2\sqrt{2}\\ \mathrm{rad/s}\approx 0,2828\\ \mathrm{rad/s}

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