Questāo 2) ( 2,5 pontos) Uma escada com 3 metros de comprimento está apoiada contra uma parede vertical. Se a base da escada desliza afastando-se da parede a uma velocidade de 0.6
, qual rápido está variando o ângulo entre o topo da escada e a parede quando o ângulo é
radianos?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa bem específica:
- Escada de comprimento
(comprimento constante). - A base da escada afasta-se da parede com velocidade
. (Aqui usei para representar a distância horizontal entre a base da escada e a parede.) - Pede-se: quão rápido está variando o ângulo entre o topo da escada e a parede quando esse ângulo é
radianos. Vou chamar esse ângulo de (ângulo entre a escada e a parede, isto é, o ângulo no topo entre a escada e a vertical). - Informações relevantes derivadas do enunciado que serão usadas: comprimento da escada
(constante); relação geométrica entre , a altura do topo na parede, e : .
Passo 2
Escolha das variáveis e relação trigonométrica (explicação didática):
- Definição das variáveis:
= distância horizontal da base ao pé da parede; = altura do topo da escada na parede; = ângulo entre a escada e a parede (no topo). - Geometria e trigonometria: para o triângulo formado pela parede (vertical), o chão (horizontal) e a escada (hipotenusa), a função seno de
é definida como “cateto oposto dividido pela hipotenusa”. No nosso caso, olhando o ângulo no topo (entre escada e parede), o cateto oposto é (a base) e a hipotenusa é . Logo:
Breve reforço: pensar no ângulo no topo ajuda — se a escada está quase vertical,
é pequeno e
também é pequeno; se a escada fica mais deitada,
aumenta e
aumenta. Isso confirma que a relação faz sentido intuitivo.
Passo 3
Diferenciação implícita em relação ao tempo (aula sobre regra da cadeia):
- A equação
envolve duas quantidades que variam com o tempo ( e ). Para saber as velocidades, derivamos ambos os lados em relação a . - Regra da cadeia: se
, então . Isto é a regra da cadeia aplicada a . - Derivando a relação:
Como
é constante, isso dá:
Expliquei passo a passo: à esquerda usei a derivada de
multiplicada por
; à direita saí
vezes
.
Passo 4
Isolando
e substituindo os valores (conta detalhada):
- Isolando:
- Agora substituímos
, e . - Primeiro calcule
. Sabemos da trigonometria básica que
- Substituindo na fórmula:
Agora simplificamos passo a passo:
Racionalizando (opcional) ou escrevendo em forma mais simples:
- Valor numérico aproximado:
Unidade: como
é um ângulo em radianos e
está em segundos, a unidade da taxa é
.
Passo 5
Interpretação física e dica para prova (intuição e verificação):
- O resultado é positivo:
. Isso faz sentido: à medida que a base se afasta da parede, o ângulo entre a escada e a parede aumenta (a escada fica mais “deitada” em relação à parede), então cresce. - Dica para a prova: ao definir
, seja claro se é o ângulo com a parede (aqui usamos esse) ou com o chão; a relação trigonométrica muda (por exemplo, se fosse ângulo com o chão, usaríamos ou diferentes) — sempre desenhe rapidamente o triângulo e identifique cateto oposto/adjacente antes de derivar.