Questão 4) (2,5 pontos) Encontre os pontos críticos, classifique-os e ache as demais informações necessárias para esboçar o gráfico da função y=\frac{x^{2}}{x^{2}-9}.

Passo 1

O enunciado dá a função \displaystyle y=\frac{x^{2}}{x^{2}-9} e pede:
  • Encontrar os pontos críticos.
  • Classificar esses pontos (máximo/minimo).
  • Achar as demais informações necessárias para esboçar o gráfico (domínio, assíntotas, monotonia, concavidade, pontos de interseção, comportamento perto das assíntotas, etc.).
Informações dadas explicitamente: a fórmula da função \displaystyle y=\frac{x^{2}}{x^{2}-9}.
Nada mais foi fornecido (por exemplo, figura), então usaremos apenas essa expressão para obter tudo o que for necessário para desenhar o gráfico.

Passo 2

Domínio, simetria e interceptos (coisas fáceis para começar).
Domínio: a função tem denominador (x^{2}-9). Esse denominador não pode ser zero, logo
x^{2}-9\neq 0 \implies x\neq \pm 3.
Portanto o domínio é \{x\in\mathbb{R}: x\neq \pm 3\}.
Simetria: a função depende só de x^{2}, então é função par (mesma imagem para x e -x), i.e. simétrica em relação ao eixo y.
Interceptos:
  • Interseção com o eixo y: avaliar em x=0,
y(0)=\frac{0^{2}}{0^{2}-9}=0.
Logo o ponto (0,0) é intercepto em x e y (único zero da função), porque y=0 iff x^{2}=0 iff x=0.
Assíntota horizontal (comportamento para x\to\pm\infty): dividir numerador e denominador por x^{2}:
y=\frac{x^{2}}{x^{2}-9}=\frac{1}{1-\dfrac{9}{x^{2}}}.
Quando x\to\pm\infty temos \dfrac{9}{x^{2}}\to 0, então y\to 1. Portanto existe assíntota horizontal y=1. Observação útil: escrevendo y-1=\dfrac{9}{x^{2}-9} vemos que, para |x| grande, y-1>0, logo a função aproxima-se de y=1 por cima.

Passo 3

Assíntotas verticais e comportamento perto delas (limites unilaterais).
As assíntotas verticais ocorrem onde o denominador zera, i.e. em x=\pm 3. Vamos estudar os limites laterais:
Para x\to 3^{-}: x^{2} está próximo de 9, positivo; x^{2}-9 é pequeno e negativo, então
y=\frac{x^{2}}{x^{2}-9}\to -\infty.
Para x\to 3^{+}: x^{2}-9 é pequeno e positivo, então
y\to +\infty.
Para x\to -3^{-} (lado esquerdo de -3, isto é x<-3): x^{2}-9>0 (porque x^{2}>9), então
y\to +\infty.
Para x\to -3^{+} (lado direito de -3, isto é -3<x<-3+\varepsilon): x^{2}-9<0, então
y\to -\infty.
Resumindo o comportamento perto das assíntotas verticais:
  • Em x=-3: vindo da esquerda y\to +\infty, vindo da direita y\to -\infty.
  • Em x=3: vindo da esquerda y\to -\infty, vindo da direita y\to +\infty.

Passo 4

Derivada primeira: definição prática e cálculo (para achar pontos críticos e monotonia).
Recordando a regra do quociente: se y=\dfrac{u(x)}{v(x)} então
y'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}.
Aqui u(x)=x^{2} e v(x)=x^{2}-9. Calculando:
u'(x)=2x,\qquad v'(x)=2x.
Aplicando a regra do quociente:
y'=\frac{(2x)(x^{2}-9)-x^{2}(2x)}{(x^{2}-9)^{2}}.
No numerador simplificamos:
(2x)(x^{2}-9)-2x\cdot x^{2}=2x\big(x^{2}-9-x^{2}\big)=2x(-9)=-18x.
Portanto
\boxed{\,y'=\frac{-18x}{(x^{2}-9)^{2}}\,}
Esse resultado é válido para todos x do domínio (i.e. x\neq\pm3).
Pontos críticos: por definição, pontos críticos são pontos do domínio onde y'=0 ou y' não existe. Aqui y' existe em todo o domínio; y'=0 quando o numerador -18x=0 isto é x=0. Então o único ponto crítico na função (no domínio) é x=0. Os valores x=\pm3 fazem y' não existir, mas também a função não está definida nesses pontos, então não são pontos críticos da função.

Passo 5

Classificação do ponto crítico e monotonia (usar o sinal da derivada).
Analisemos o sinal de y'. O denominador (x^{2}-9)^{2} é sempre positivo para x\neq\pm3. Assim o sinal de y' é o sinal de -18x, isto é, o sinal de -x.
  • Se x<0 então -x>0 e y'>0: função crescente.
  • Se x>0 então -x<0 e y'<0: função decrescente.
Levando em conta os pontos onde a função não existe ( \pm3), as intervalos de monotonia são:
\text{crescente em }(-\infty,-3),\quad \text{crescente em }(-3,0),
\text{decrescente em }(0,3),\quad \text{decrescente em }(3,\infty).
Como a função cresce até x=0 (pela esquerda) e decresce a partir de x=0 (pela direita), o ponto crítico x=0 é um ponto de máximo local. O valor da função em x=0 é y(0)=0, então há um máximo local em (0,0). Observação: devido às assíntotas verticais que levam a +\infty em algumas direções, não existe um máximo global finito — a função é não limitada superiormente em certos ramos — mas em cada intervalo entre assíntotas ( -3,3) o maior valor é 0 em x=0.

Passo 6

Derivada segunda: cálculo passo a passo e interpretação (concavidade e pontos de inflexão).
Partimos de y'=-18x(x^{2}-9)^{-2}. Use a regra do produto e cadeia:
y''=-18\cdot (x^{2}-9)^{-2} + (-18x)\cdot (-2)(x^{2}-9)^{-3}\cdot (2x).
Explicando: a derivada de (x^{2}-9)^{-2} é -2(x^{2}-9)^{-3}\cdot (2x) pela regra da cadeia.
Agora simplificamos o segundo termo:
(-18x)\cdot (-2)\cdot (2x) = (-18x)\cdot (-4x)=72x^{2}.
Assim obtemos
y''=-18(x^{2}-9)^{-2}+72x^{2}(x^{2}-9)^{-3}.
Colocando em fator comum (x^{2}-9)^{-3}:
y''=(x^{2}-9)^{-3}\big[-18(x^{2}-9)+72x^{2}\big].
Simplificando o interior do colchete:
-18(x^{2}-9)+72x^{2}=-18x^{2}+162+72x^{2}=54x^{2}+162=54(x^{2}+3).
Portanto
\boxed{\,y''=\frac{54(x^{2}+3)}{(x^{2}-9)^{3}}\,}
Análise do sinal: o numerador 54(x^{2}+3) é sempre positivo (pois x^{2}+3>0 para todo x). Assim o sinal de y'' é o mesmo do denominador (x^{2}-9)^{3}.
  • Para |x|>3 temos x^{2}-9>0\Rightarrow (x^{2}-9)^{3}>0, logo y''>0: concavidade para cima.
  • Para |x|<3 temos x^{2}-9<0\Rightarrow (x^{2}-9)^{3}<0, logo y''<0: concavidade para baixo.
Pontos de inflexão: seriam pontos do domínio onde y'' muda de sinal. As únicas possíveis trocas de sinal ocorrem em x=\pm3, mas esses pontos não pertencem ao domínio (assíntotas verticais). Não existe x no domínio que zere y'' (numerador nunca zero). Portanto não há pontos de inflexão na função.

Passo 7

Faixas de valores (imagem) e observações finais úteis para desenhar o gráfico.
Para encontrar a imagem (range) usamos a equação y=t e resolvemos para x^{2}:
t=\frac{x^{2}}{x^{2}-9}\quad\Longrightarrow\quad (t-1)x^{2}=9t\quad\Longrightarrow\quad x^{2}=\frac{9t}{t-1}.
Como x^{2}\ge 0, o quociente \dfrac{9t}{t-1} deve ser \ge 0. Estudando o sinal:
  • Se t>1 então 9t>0 e t-1>0 \Rightarrow razão positiva → valores t>1 são alcançados.
  • Se t<0 então 9t<0 e t-1<0 \Rightarrow razão positiva → valores t<0 são alcançados.
  • Para 0<t<1 o numerador é positivo e o denominador negativo → razão negativa (impossível).
  • t=0 é possível (dá x=0).
  • t=1 não é possível (denominador zero).
Logo a imagem (range) é
\boxed{\;(-\infty,0]\cup(1,\infty)\;}.
Exemplos numéricos rápidos para guiar o esboço: \,y(2)=\dfrac{4}{-5}=-0{,}8 (ramo entre as assíntotas, abaixo do eixo x), \,y(4)=\dfrac{16}{7}\approx 2{,}285 (ramo à direita de x=3, acima de y=1). Lembrar da simetria par: o ramo para x< -3 é o espelho do ramo para x>3.
Resumo das informações que já reunimos e que servem para esboçar o gráfico:
  • Domínio: x\neq\pm 3.
  • Assíntotas verticais: x=\pm 3.
  • Assíntota horizontal: y=1.
  • Intercepto e único zero: (0,0).
  • Monotonia: crescente para x<0 (nos intervalos (-\infty,-3) e (-3,0)), decrescente para x>0 (nos intervalos (0,3) e (3,\infty)).
  • Ponto crítico: x=0 com y(0)=0; é um máximo local.
  • Concavidade: côncava para baixo em (-3,3); côncava para cima em (-\infty,-3) e (3,\infty).
  • Pontos de inflexão: nenhum no domínio.
  • Imagem: (-\infty,0]\cup(1,\infty).
Com todas essas informações (assíntotas, monotonia, concavidade, intercepto e comportamento lateral) dá para esboçar o gráfico corretamente: no intervalo central (-3,3) a curva sobe de +\infty em x=-3^{+} até o máximo (0,0) e desce para -\infty em x=3^{-}; nos ramos externos (-\infty,-3) e (3,\infty) a curva vem de 1^{+} no infinito, sobe até +\infty ao se aproximar da assíntota vertical mais próxima, sempre convexa para cima nesses ramos.

Resposta

Domínio: \{x\in\mathbb{R}:x\neq\pm3\}
Interseções: (0,0) (único zero e intercepto y)
Assíntotas verticais: x=\pm 3
Assíntota horizontal: y=1
Pontos críticos: x=0 (valor y(0)=0) — máximo local em (0,0)
Monotonia: crescente em (-\infty,-3)\cup(-3,0); decrescente em (0,3)\cup(3,\infty)
Concavidade: côncava para baixo em (-3,3); côncava para cima em (-\infty,-3)\cup(3,\infty)
Pontos de inflexão: nenhum no domínio
Imagem (range): (-\infty,0]\cup(1,\infty)

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