Questão 4) (2,5 pontos) Encontre os pontos críticos, classifique-os e ache as demais informações necessárias para esboçar o gráfico da função
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede:
- Encontrar os pontos críticos.
- Classificar esses pontos (máximo/minimo).
- Achar as demais informações necessárias para esboçar o gráfico (domínio, assíntotas, monotonia, concavidade, pontos de interseção, comportamento perto das assíntotas, etc.).
Informações dadas explicitamente: a fórmula da função
.
Nada mais foi fornecido (por exemplo, figura), então usaremos apenas essa expressão para obter tudo o que for necessário para desenhar o gráfico.
Nada mais foi fornecido (por exemplo, figura), então usaremos apenas essa expressão para obter tudo o que for necessário para desenhar o gráfico.
Passo 2
Domínio, simetria e interceptos (coisas fáceis para começar).
Domínio: a função tem denominador
. Esse denominador não pode ser zero, logo
Portanto o domínio é
.
Simetria: a função depende só de
, então é função par (mesma imagem para
e
), i.e. simétrica em relação ao eixo
.
Interceptos:
- Interseção com o eixo
: avaliar em ,
Logo o ponto
é intercepto em
e
(único zero da função), porque
iff
iff
.
Assíntota horizontal (comportamento para
): dividir numerador e denominador por
:
Quando
temos
, então
. Portanto existe assíntota horizontal
. Observação útil: escrevendo
vemos que, para
grande,
, logo a função aproxima-se de
por cima.
Passo 3
Assíntotas verticais e comportamento perto delas (limites unilaterais).
As assíntotas verticais ocorrem onde o denominador zera, i.e. em
. Vamos estudar os limites laterais:
Para
:
está próximo de
, positivo;
é pequeno e negativo, então
Para
:
é pequeno e positivo, então
Para
(lado esquerdo de
, isto é
):
(porque
), então
Para
(lado direito de
, isto é
):
, então
Resumindo o comportamento perto das assíntotas verticais:
- Em
: vindo da esquerda , vindo da direita . - Em
: vindo da esquerda , vindo da direita .
Passo 4
Derivada primeira: definição prática e cálculo (para achar pontos críticos e monotonia).
Recordando a regra do quociente: se
então
Aqui
e
. Calculando:
Aplicando a regra do quociente:
No numerador simplificamos:
Portanto
Esse resultado é válido para todos
do domínio (i.e.
).
Pontos críticos: por definição, pontos críticos são pontos do domínio onde
ou
não existe. Aqui
existe em todo o domínio;
quando o numerador
isto é
. Então o único ponto crítico na função (no domínio) é
. Os valores
fazem
não existir, mas também a função não está definida nesses pontos, então não são pontos críticos da função.
Passo 5
Classificação do ponto crítico e monotonia (usar o sinal da derivada).
Analisemos o sinal de
. O denominador
é sempre positivo para
. Assim o sinal de
é o sinal de
, isto é, o sinal de
.
- Se
então e : função crescente. - Se
então e : função decrescente.
Levando em conta os pontos onde a função não existe (
), as intervalos de monotonia são:
Como a função cresce até
(pela esquerda) e decresce a partir de
(pela direita), o ponto crítico
é um ponto de máximo local. O valor da função em
é
, então há um máximo local em
. Observação: devido às assíntotas verticais que levam a
em algumas direções, não existe um máximo global finito — a função é não limitada superiormente em certos ramos — mas em cada intervalo entre assíntotas
o maior valor é
em
.
Passo 6
Derivada segunda: cálculo passo a passo e interpretação (concavidade e pontos de inflexão).
Partimos de
. Use a regra do produto e cadeia:
Explicando: a derivada de
é
pela regra da cadeia.
Agora simplificamos o segundo termo:
Assim obtemos
Colocando em fator comum
:
Simplificando o interior do colchete:
Portanto
Análise do sinal: o numerador
é sempre positivo (pois
para todo
). Assim o sinal de
é o mesmo do denominador
.
- Para
temos , logo : concavidade para cima. - Para
temos , logo : concavidade para baixo.
Pontos de inflexão: seriam pontos do domínio onde
muda de sinal. As únicas possíveis trocas de sinal ocorrem em
, mas esses pontos não pertencem ao domínio (assíntotas verticais). Não existe
no domínio que zere
(numerador nunca zero). Portanto não há pontos de inflexão na função.
Passo 7
Faixas de valores (imagem) e observações finais úteis para desenhar o gráfico.
Para encontrar a imagem (range) usamos a equação
e resolvemos para
:
Como
, o quociente
deve ser
. Estudando o sinal:
- Se
então e razão positiva → valores são alcançados. - Se
então e razão positiva → valores são alcançados. - Para
o numerador é positivo e o denominador negativo → razão negativa (impossível). -
é possível (dá ). -
não é possível (denominador zero).
Logo a imagem (range) é
Exemplos numéricos rápidos para guiar o esboço:
(ramo entre as assíntotas, abaixo do eixo
),
(ramo à direita de
, acima de
). Lembrar da simetria par: o ramo para
é o espelho do ramo para
.
Resumo das informações que já reunimos e que servem para esboçar o gráfico:
- Domínio:
. - Assíntotas verticais:
. - Assíntota horizontal:
. - Intercepto e único zero:
. - Monotonia: crescente para
(nos intervalos e ), decrescente para (nos intervalos e ). - Ponto crítico:
com ; é um máximo local. - Concavidade: côncava para baixo em
; côncava para cima em e . - Pontos de inflexão: nenhum no domínio.
- Imagem:
.
Com todas essas informações (assíntotas, monotonia, concavidade, intercepto e comportamento lateral) dá para esboçar o gráfico corretamente: no intervalo central
a curva sobe de
em
até o máximo
e desce para
em
; nos ramos externos
e
a curva vem de
no infinito, sobe até
ao se aproximar da assíntota vertical mais próxima, sempre convexa para cima nesses ramos.
Resposta
Domínio:
Interseções: (único zero e intercepto y)
Assíntotas verticais:
Assíntota horizontal:
Pontos críticos: (valor
) — máximo local em
Monotonia: crescente em ; decrescente em
Concavidade: côncava para baixo em ; côncava para cima em
Pontos de inflexão: nenhum no domínio
Imagem (range):
Interseções:
Assíntotas verticais:
Assíntota horizontal:
Pontos críticos:
Monotonia: crescente em
Concavidade: côncava para baixo em
Pontos de inflexão: nenhum no domínio
Imagem (range):