Diapasões são dispositivos típicos para afinação de instrumentos de corda, pois vibram de modo a produzir no ar ondas senoidais. Dois diapasões vibram com frequências de \mathbf{2 5 6 ~ H z} e \mathbf{2 6 0} Hz, respectivamente, produzindo som no ar que vaja à velocidade de \mathbf{3 4 4 ~ m} / \mathbf{s} em condições normais.
a) Determine a frequências das duas ondas produzidas no ar e seus respectivos comprimentos de onda.
b) Em certa posição, uma pessoa deve ouvir um batimento relativo às duas ondas propagantes. Qual é a frequência desse batimento?
c) O som produzido pelos diapasões juntos é de intensidade moderada (em torno de 55 dB percebido por uma pessoa próxima). Esse nível de intensidade faz com que o ar próximo do tímpano dessa pessoa oscile com uma amplitude de pressão de 15 \mu P a. Nesse caso, demonstre a função da superposição das duas ondas. Use os dados numéricos obtidos.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede coisas bem específicas:
  • Dois diapasões vibram com frequências \,256\\ \text{Hz}\, e \,260\\ \text{Hz}\,.
  • A velocidade do som no ar é \,344\\ \text{m/s}\,.
  • O som combinado é dito ter nível moderado (cerca de 55\\ \text{dB}) e o ar próximo ao tímpano oscila com amplitude de pressão de \,15\\ \mu\text{Pa}\, (valor fornecido no enunciado).
  • Perguntas:
    1. (a) Quais são as frequências das ondas no ar e quais os seus comprimentos de onda?
    2. (b) Qual é a frequência do batimento ouvido por uma pessoa?
    3. (c) Escrever (demonstrar) a função da superposição das duas ondas usando os dados numéricos obtidos (ou seja, formar p(t) com os valores numéricos).
Observações de informação útil que vamos usar depois (apenas listando os dados): \,f_1=256\\ \text{Hz},\\ f_2=260\\ \text{Hz},\\ v=344\\ \text{m/s},\\ A_{\text{(dado)}}=15\\ \mu\text{Pa}.

Passo 2

Parte (a): frequência das ondas no ar e seus comprimentos de onda.
  • Primeiro ponto didático: quando uma fonte (aqui o diapasão) vibra com uma frequência \,f, a onda sonora gerada no ar tem a mesma frequência \,f. Ou seja, a frequência não muda quando a onda se propaga no ar (a menos que haja efeitos de movimento relativo, que aqui não existem). Portanto as frequências das duas ondas no ar são
f_1 = 256\\ \text{Hz},\qquad f_2 = 260\\ \text{Hz}.
  • Segundo ponto didático: o comprimento de onda \lambda relaciona velocidade v, frequência f e \lambda pela fórmula
\lambda=\frac{v}{f},
onde \lambda tem unidades de metros quando v está em \text{m/s} e f em \text{Hz}.
Agora calculamos numericamente:
  • Para a primeira onda:
\lambda_1=\frac{344}{256}=\;1{,}34375\\ \text{m}.
Podemos arredondar, por exemplo, para três casas: \lambda_1\approx 1{,}344\\ \text{m}.
  • Para a segunda onda:
\lambda_2=\frac{344}{260}=\;1{,}323076923\ldots\\ \text{m},
arredondando: \lambda_2\approx 1{,}323\\ \text{m}.
Explicação prática curta: na prova, basta aplicar \lambda=v/f para cada frequência e colocar as unidades.

Passo 3

Parte (b): frequência do batimento.
  • Conceito didático: quando duas ondas de frequências próximas se somam, o resultado é uma oscilação rápida (a “portadora”) com frequência aproximada da média e uma variação lenta da amplitude (a “envoltória”). A taxa com que a intensidade percebida varia (o batimento) é dada pela diferença absoluta entre as duas frequências:
f_{\text{batimento}} = |f_2-f_1|.
  • Aplicando aos números:
f_{\text{batimento}} = |260-256| = 4\\ \text{Hz}.
Comentário intuitivo: você ouvirá 4 pulsações de volume por segundo (o ouvido percebe variação de intensidade com essa taxa).

Passo 4

Parte (c): demonstrar a função da superposição das duas ondas, usando dados numéricos.
Passo didático inicial:
  • Representamos cada onda sonora como uma variação de pressão no tempo do tipo seno/cosseno. Uma forma comum e conveniente é usar cosseno:
p_1(t)=A\cos(\omega_1 t),\qquad p_2(t)=A\cos(\omega_2 t),
onde A é a amplitude (valor máximo da pressão), e \omega_i é a frequência angular de cada onda, dada por
\omega_i = 2\pi f_i.
Aqui vamos adotar a forma com cosseno por ser direta; poderia usar seno sem alterar a física (só a fase).
Interpretação do dado da amplitude:
  • O enunciado fornece uma amplitude de pressão de \,15\\ \mu\text{Pa}. Para montar a superposição, assumimos que cada componente tem amplitude igual a esse valor (isso é uma interpretação consistente e simples para escrever a função solicitada). Ou seja tomamos
A = 15\\ \mu\text{Pa}=15\times10^{-6}\\ \text{Pa}.
Agora definimos as frequências angulares com os números:
\omega_1 = 2\pi f_1 = 2\pi\cdot256 = 512\pi\\ \text{rad/s},
\omega_2 = 2\pi f_2 = 2\pi\cdot260 = 520\pi\\ \text{rad/s}.
A superposição linear (princípio da superposição) é
p(t)=p_1(t)+p_2(t)=A\cos(\omega_1 t)+A\cos(\omega_2 t).
Agora usamos a identidade trigonométrica fundamental (muito útil em provas):
\cos a + \cos b = 2\cos\!\Big(\frac{a+b}{2}\Big)\cos\!\Big(\frac{a-b}{2}\Big).
Aplicando aqui com a=\omega_1 t e b=\omega_2 t obtemos
p(t)=2A\cos\!\Big(\frac{\omega_1+\omega_2}{2}t\Big)\cos\!\Big(\frac{\omega_1-\omega_2}{2}t\Big).
Substituindo \omega_1,\omega_2 e A, primeiro note que
\frac{\omega_1+\omega_2}{2} = \pi(256+260)=2\pi\cdot 258,
isto é, frequência central (f_1+f_2)/2=258\\ \text{Hz}, e
\frac{\omega_1-\omega_2}{2} = \pi(256-260)= -2\pi\cdot 2,
cujo valor absoluto corresponde a uma oscilação de 2\\ \text{Hz} no fator de amplitude (aos sinais de cosseno negativos podemos tratar pela paridade do cosseno). Assim numericamente:
2A = 2\cdot 15\\ \mu\text{Pa} = 30\\ \mu\text{Pa}.
Portanto a função final da superposição, escrita de forma clara e numérica, é
p(t)=30\\ \mu\text{Pa}\;\cos\!\big(2\pi\cdot 258\\ t\big)\;\cos\!\big(2\pi\cdot 2\\ t\big).
Interpretação física curta e conexão com o batimento:
  • A expressão mostra uma portadora com frequência 258\\ \text{Hz} (a média) multiplicada por uma envoltória \cos(2\pi\cdot 2 t) que varia lentamente (aos olhos do tempo) com frequência 2\\ \text{Hz}. Essa envoltória muda de sinal — por isso a amplitude instantânea muda de positivo para negativo — e a intensidade (proporcional a p^2) tem uma modulação cuja frequência é o dobro da frequência da envoltória. Mais precisamente, usando \cos^2 x = (1+\cos 2x)/2 e fazendo a média sobre as oscilações rápidas da portadora, a intensidade média percebida varia com fator \cos(2\pi\cdot 4\\ t), ou seja com frequência 4\\ \text{Hz}, que é exatamente a frequência do batimento calculada em (b). Isso explica por que o ouvido percebe 4\\ \text{Hz} de batimento embora a envoltória do sinal de pressão tenha frequência 2\\ \text{Hz}: a energia (intensidade sonora) varia à taxa |f_2-f_1|.
Cálculo curto da modulação da intensidade (para ver numericamente a frequência de batimento):
  • p(t)=2A C M com C=\cos(2\pi\cdot 258\,t) e M=\cos(2\pi\cdot 2\,t).
  • p^2(t)=4A^2 C^2 M^2. Usando \langle C^2\rangle_{\text{rápida}}=1/2á e M^2=(1+\cos(2\pi\cdot 4\,t))/2 obtemos a variação média de p^2
\langle p^2\rangle \approx A^2\big(1+\cos(2\pi\cdot 4\,t)\big),
ou seja a intensidade média contém um termo oscilante com frequência 4\\ \text{Hz}.

Resposta

(a) \,f_1=256\\ \text{Hz},\\ \lambda_1\approx 1{,}344\\ \text{m}.\n(b) \,f_2=260\\ \text{Hz},\\ \lambda_2\approx 1{,}323\\ \text{m}.\n(c) \displaystyle p(t)=30\\ \mu\text{Pa}\;\cos\!\big(2\pi\cdot 258\\ t\big)\;\cos\!\big(2\pi\cdot 2\\ t\big).

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