Diapasões são dispositivos típicos para afinação de instrumentos de corda, pois vibram de modo a produzir no ar ondas senoidais. Dois diapasões vibram com frequências de
e
Hz, respectivamente, produzindo som no ar que vaja à velocidade de
em condições normais.
a) Determine a frequências das duas ondas produzidas no ar e seus respectivos comprimentos de onda.
b) Em certa posição, uma pessoa deve ouvir um batimento relativo às duas ondas propagantes. Qual é a frequência desse batimento?
c) O som produzido pelos diapasões juntos é de intensidade moderada (em torno de 55 dB percebido por uma pessoa próxima). Esse nível de intensidade faz com que o ar próximo do tímpano dessa pessoa oscile com uma amplitude de pressão de
. Nesse caso, demonstre a função da superposição das duas ondas. Use os dados numéricos obtidos.
a) Determine a frequências das duas ondas produzidas no ar e seus respectivos comprimentos de onda.
b) Em certa posição, uma pessoa deve ouvir um batimento relativo às duas ondas propagantes. Qual é a frequência desse batimento?
c) O som produzido pelos diapasões juntos é de intensidade moderada (em torno de 55 dB percebido por uma pessoa próxima). Esse nível de intensidade faz com que o ar próximo do tímpano dessa pessoa oscile com uma amplitude de pressão de
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede coisas bem específicas:
- Dois diapasões vibram com frequências
e . - A velocidade do som no ar é
. - O som combinado é dito ter nível moderado (cerca de
) e o ar próximo ao tímpano oscila com amplitude de pressão de (valor fornecido no enunciado). - Perguntas:
- (a) Quais são as frequências das ondas no ar e quais os seus comprimentos de onda?
- (b) Qual é a frequência do batimento ouvido por uma pessoa?
- (c) Escrever (demonstrar) a função da superposição das duas ondas usando os dados numéricos obtidos (ou seja, formar
com os valores numéricos).
Observações de informação útil que vamos usar depois (apenas listando os dados):
Passo 2
Parte (a): frequência das ondas no ar e seus comprimentos de onda.
- Primeiro ponto didático: quando uma fonte (aqui o diapasão) vibra com uma frequência
, a onda sonora gerada no ar tem a mesma frequência . Ou seja, a frequência não muda quando a onda se propaga no ar (a menos que haja efeitos de movimento relativo, que aqui não existem). Portanto as frequências das duas ondas no ar são
- Segundo ponto didático: o comprimento de onda
relaciona velocidade , frequência e pela fórmula
onde
tem unidades de metros quando
está em
e
em
.
Agora calculamos numericamente:
- Para a primeira onda:
Podemos arredondar, por exemplo, para três casas:
- Para a segunda onda:
arredondando:
Explicação prática curta: na prova, basta aplicar
para cada frequência e colocar as unidades.
Passo 3
Parte (b): frequência do batimento.
- Conceito didático: quando duas ondas de frequências próximas se somam, o resultado é uma oscilação rápida (a “portadora”) com frequência aproximada da média e uma variação lenta da amplitude (a “envoltória”). A taxa com que a intensidade percebida varia (o batimento) é dada pela diferença absoluta entre as duas frequências:
- Aplicando aos números:
Comentário intuitivo: você ouvirá 4 pulsações de volume por segundo (o ouvido percebe variação de intensidade com essa taxa).
Passo 4
Parte (c): demonstrar a função da superposição das duas ondas, usando dados numéricos.
Passo didático inicial:
- Representamos cada onda sonora como uma variação de pressão no tempo do tipo seno/cosseno. Uma forma comum e conveniente é usar cosseno:
onde
é a amplitude (valor máximo da pressão), e
é a frequência angular de cada onda, dada por
Aqui vamos adotar a forma com cosseno por ser direta; poderia usar seno sem alterar a física (só a fase).
Interpretação do dado da amplitude:
- O enunciado fornece uma amplitude de pressão de
. Para montar a superposição, assumimos que cada componente tem amplitude igual a esse valor (isso é uma interpretação consistente e simples para escrever a função solicitada). Ou seja tomamos
Agora definimos as frequências angulares com os números:
A superposição linear (princípio da superposição) é
Agora usamos a identidade trigonométrica fundamental (muito útil em provas):
Aplicando aqui com
e
obtemos
Substituindo
e
, primeiro note que
isto é, frequência central
, e
cujo valor absoluto corresponde a uma oscilação de
no fator de amplitude (aos sinais de cosseno negativos podemos tratar pela paridade do cosseno). Assim numericamente:
Portanto a função final da superposição, escrita de forma clara e numérica, é
Interpretação física curta e conexão com o batimento:
- A expressão mostra uma portadora com frequência
(a média) multiplicada por uma envoltória que varia lentamente (aos olhos do tempo) com frequência . Essa envoltória muda de sinal — por isso a amplitude instantânea muda de positivo para negativo — e a intensidade (proporcional a ) tem uma modulação cuja frequência é o dobro da frequência da envoltória. Mais precisamente, usando e fazendo a média sobre as oscilações rápidas da portadora, a intensidade média percebida varia com fator , ou seja com frequência , que é exatamente a frequência do batimento calculada em (b). Isso explica por que o ouvido percebe de batimento embora a envoltória do sinal de pressão tenha frequência : a energia (intensidade sonora) varia à taxa .
Cálculo curto da modulação da intensidade (para ver numericamente a frequência de batimento):
-
com e . -
. Usando e obtemos a variação média de
ou seja a intensidade média contém um termo oscilante com frequência
.
Resposta
(a)
\n(b)
\n(c)